Как решить систему уравнений: х⁴ + у⁴ = 17 и х + у = 3?

Математика 11 класс Системы уравнений решение системы уравнений математика 11 класс х⁴ + у⁴ = 17 х + у = 3 методы решения уравнений Новый

Чтобы решить систему уравнений:

• х⁴ + у⁴ = 17
• х + у = 3

Начнем с того, что второе уравнение можно использовать для выражения одной переменной через другую. Например, выразим у через х:

1. Выразим у:

у = 3 - х

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

2. Подставим у в первое уравнение:

х⁴ + (3 - х)⁴ = 17

Теперь раскроем скобки в уравнении (3 - х)⁴. Для этого воспользуемся формулой бинома Ньютона:

(a - b)⁴ = a⁴ - 4a³b + 6a²b² - 4ab³ + b⁴, где a = 3, b = х.

Таким образом, (3 - х)⁴ = 3⁴ - 4 * 3³ * х + 6 * 3² * х² - 4 * 3 * х³ + х⁴:

3⁴ = 81, 4 * 3³ = 108, 6 * 3² = 54, 4 * 3 = 12.

Подставим эти значения:

(3 - х)⁴ = 81 - 108х + 54х² - 12х³ + х⁴.

Теперь подставим это в уравнение:

х⁴ + (81 - 108х + 54х² - 12х³ + х⁴) = 17.

Упростим уравнение:

2х⁴ - 12х³ + 54х² - 108х + 81 - 17 = 0.

Это уравнение можно упростить:

2х⁴ - 12х³ + 54х² - 108х + 64 = 0.

Теперь следует решить это уравнение. Для этого можно попробовать найти корни методом подбора или использовать численные методы. Давайте попробуем подставить некоторые значения х:

3. Подбор значений:

• Если х = 1, то у = 2. Подставляем в первое уравнение: 1⁴ + 2⁴ = 1 + 16 = 17. Это решение подходит.
• Если х = 2, то у = 1. Подставляем: 2⁴ + 1⁴ = 16 + 1 = 17. Это решение тоже подходит.

Таким образом, мы нашли два решения:

• (1, 2)
• (2, 1)

Итак, система уравнений имеет два решения: (1, 2) и (2, 1).