Как решить систему уравнений:

1. X^3 - y^3 = 19(x-y)
2. X^3 + y^3 = 7(x+y)

Математика 11 класс Системы уравнений система уравнений решение уравнений математические задачи X^3 - y^3 X^3 + y^3 методы решения алгебраические уравнения математический анализ Новый

Чтобы решить систему уравнений:

• X^3 - y^3 = 19(x - y)
• X^3 + y^3 = 7(x + y)

начнем с преобразования каждого из уравнений.

Шаг 1: Преобразуем первое уравнение.

Первое уравнение можно записать как:

• X^3 - y^3 = (X - y)(X^2 + XY + Y^2)

Таким образом, первое уравнение становится:

• (X - y)(X^2 + XY + Y^2) = 19(X - y)

Если X ≠ Y, то мы можем разделить обе стороны на (X - y), что дает:

• X^2 + XY + Y^2 = 19

Если же X = Y, то подставим это значение в первое уравнение и получим 0 = 0, что верно, но не дает нам информации о X и Y.

Шаг 2: Преобразуем второе уравнение.

Второе уравнение можно записать как:

• X^3 + y^3 = (X + y)(X^2 - XY + Y^2)

Таким образом, второе уравнение становится:

• (X + y)(X^2 - XY + Y^2) = 7(X + y)

Если X ≠ -Y, то мы можем разделить обе стороны на (X + y), что дает:

• X^2 - XY + Y^2 = 7

Если же X = -Y, то подставим это значение во второе уравнение и получим 0 = 0, что также не дает нам информации.

Шаг 3: Система уравнений после преобразований.

Теперь у нас есть две новые системы уравнений:

• X^2 + XY + Y^2 = 19
• X^2 - XY + Y^2 = 7

Шаг 4: Выразим XY.

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

• (X^2 + XY + Y^2) - (X^2 - XY + Y^2) = 19 - 7

Это упрощается до:

• 2XY = 12

Следовательно:

• XY = 6

Шаг 5: Подставим XY обратно.

Теперь подставим значение XY = 6 в одно из уравнений. Например, в первое:

• X^2 + 6 + Y^2 = 19

Это упрощается до:

• X^2 + Y^2 = 13

Шаг 6: Используем систему уравнений.

Теперь у нас есть следующая система:

• X^2 + Y^2 = 13
• XY = 6

С помощью этих уравнений мы можем выразить X и Y как корни квадратного уравнения:

• T^2 - (X + Y)T + XY = 0

Где X + Y = S, и S^2 = X^2 + Y^2 + 2XY:

• S^2 = 13 + 12 = 25

Следовательно, S = 5 или S = -5.

Шаг 7: Решение квадратного уравнения.

Теперь подставим S = 5 и S = -5 в квадратное уравнение:

• T^2 - 5T + 6 = 0
• T^2 + 5T + 6 = 0

Первое уравнение имеет корни:

• T = 2, T = 3

Второе уравнение не имеет действительных корней.

Шаг 8: Получаем значения X и Y.

Таким образом, X и Y могут быть:

• X = 2, Y = 3
• X = 3, Y = 2

Итак, мы нашли решение системы уравнений:

• (X, Y) = (2, 3)
• (X, Y) = (3, 2)

Таким образом, система уравнений имеет два решения: (2, 3) и (3, 2).