2025-01-01 15:53:05
Как решить следующее упражнение: (x^2 + 1)^3 + (y^2 - 1)^3?
Математика 11 класс Формулы кубов суммы и разности решение уравнения математика 11 класс алгебра куб суммы примеры задач математические упражнения сложные уравнения методы решения анализ выражения формулы алгебры
2025-01-01 15:53:26
Чтобы решить выражение (x^2 + 1)^3 + (y^2 - 1)^3, мы можем воспользоваться формулой суммы кубов. Сумма кубов a^3 + b^3 может быть разложена по формуле:
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
В нашем случае:
- a = x^2 + 1
- b = y^2 - 1
Теперь подставим a и b в формулу:
- Сначала находим a + b:
- Теперь находим a^2:
- Теперь находим b^2:
- Теперь находим ab:
- Теперь подставим все значения в формулу:
- Упрощаем это выражение:
- Соберем все части: x^4 + y^4 + 2x^2 + 1 - x^2y^2 + x^2 + y^2 - 1
- Упрощаем: x^4 + y^4 + (2x^2 + x^2) + (y^2 - 2y^2) + (1 - 1) - x^2y^2
- Итак, получается: x^4 + y^4 + 3x^2 - x^2y^2
a + b = (x^2 + 1) + (y^2 - 1) = x^2 + y^2
a^2 = (x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1
b^2 = (y^2 - 1)^2 = y^4 - 2y^2 + 1
ab = (x^2 + 1)(y^2 - 1) = x^2y^2 - x^2 + y^2 - 1
a^2 - ab + b^2 = (x^4 + 2x^2 + 1) - (x^2y^2 - x^2 + y^2 - 1) + (y^4 - 2y^2 + 1)
Таким образом, финальный ответ:
(x^2 + 1)^3 + (y^2 - 1)^3 = (x^2 + y^2)((x^2 + 1)^2 - (x^2 + 1)(y^2 - 1) + (y^2 - 1)^2)
Здесь мы успешно разложили сумму кубов и упростили выражение. Надеюсь, это поможет вам в понимании задачи!
