Как решить следующее упражнение: (x^2 + 1)^3 + (y^2 - 1)^3?

Математика 11 класс Формулы кубов суммы и разности решение уравнения математика 11 класс алгебра куб суммы примеры задач математические упражнения сложные уравнения методы решения анализ выражения формулы алгебры Новый

Чтобы решить выражение (x^2 + 1)^3 + (y^2 - 1)^3, мы можем воспользоваться формулой суммы кубов. Сумма кубов a^3 + b^3 может быть разложена по формуле:

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

В нашем случае:

• a = x^2 + 1
• b = y^2 - 1

Теперь подставим a и b в формулу:

1. Сначала находим a + b:

a + b = (x^2 + 1) + (y^2 - 1) = x^2 + y^2

2. Теперь находим a^2:

a^2 = (x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1

3. Теперь находим b^2:

b^2 = (y^2 - 1)^2 = y^4 - 2y^2 + 1

4. Теперь находим ab:

ab = (x^2 + 1)(y^2 - 1) = x^2y^2 - x^2 + y^2 - 1

5. Теперь подставим все значения в формулу:

a^2 - ab + b^2 = (x^4 + 2x^2 + 1) - (x^2y^2 - x^2 + y^2 - 1) + (y^4 - 2y^2 + 1)

6. Упрощаем это выражение:
• Соберем все части: x^4 + y^4 + 2x^2 + 1 - x^2y^2 + x^2 + y^2 - 1
• Упрощаем: x^4 + y^4 + (2x^2 + x^2) + (y^2 - 2y^2) + (1 - 1) - x^2y^2
• Итак, получается: x^4 + y^4 + 3x^2 - x^2y^2

Таким образом, финальный ответ:

(x^2 + 1)^3 + (y^2 - 1)^3 = (x^2 + y^2)((x^2 + 1)^2 - (x^2 + 1)(y^2 - 1) + (y^2 - 1)^2)

Здесь мы успешно разложили сумму кубов и упростили выражение. Надеюсь, это поможет вам в понимании задачи!