Как решить следующие уравнения?

1. x^4 - 5x^3 + 10x^2 - 10x + 4 = 0;
2. 6x^4 + 5x^3 + 38x^2 - 10x + 24 = 0;

Математика 11 класс Уравнения 4 степени решение уравнений математика уравнения 4 степени алгебра методы решения уравнений Новый

Решение данных уравнений требует применения различных методов, таких как факторизация, использование теоремы Виета, или применение численных методов. Давайте рассмотрим каждое уравнение по порядку.

1. Уравнение: x^4 - 5x^3 + 10x^2 - 10x + 4 = 0

Это уравнение является многочленом четвертой степени. Начнем с поиска рациональных корней с помощью теоремы о рациональных корнях. Мы проверим возможные делители свободного члена (в данном случае 4), которые могут быть: ±1, ±2, ±4.

• Подставим x = 1:
• 1^4 - 5*1^3 + 10*1^2 - 10*1 + 4 = 1 - 5 + 10 - 10 + 4 = 0. Значит, x = 1 - корень.

Теперь мы можем разделить многочлен на (x - 1) с помощью деления многочленов или синтетического деления:

• Результат деления: x^3 - 4x^2 + 6x - 4.

Теперь у нас есть новое уравнение третьей степени. Мы можем снова искать корни. Проверим x = 2:

• 2^3 - 4*2^2 + 6*2 - 4 = 8 - 16 + 12 - 4 = 0. Значит, x = 2 - корень.

Теперь делим x^3 - 4x^2 + 6x - 4 на (x - 2):

• Результат деления: x^2 - 2x + 2.

Теперь решим уравнение x^2 - 2x + 2 = 0 с помощью дискриминанта:

• D = (-2)^2 - 4*1*2 = 4 - 8 = -4.

Так как дискриминант отрицательный, у этого уравнения нет действительных корней. Таким образом, корни исходного уравнения:

• x = 1, x = 2, и два комплексных корня из уравнения x^2 - 2x + 2.

2. Уравнение: 6x^4 + 5x^3 + 38x^2 - 10x + 24 = 0

Для этого уравнения также начнем с поиска рациональных корней. Проверим делители свободного члена (24): ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24.

• Подставим x = -2:
• 6*(-2)^4 + 5*(-2)^3 + 38*(-2)^2 - 10*(-2) + 24 = 96 - 40 + 152 + 20 + 24 = 252. Не корень.
• Подставим x = 1:
• 6*1^4 + 5*1^3 + 38*1^2 - 10*1 + 24 = 6 + 5 + 38 - 10 + 24 = 63. Не корень.
• Подставим x = -1:
• 6*(-1)^4 + 5*(-1)^3 + 38*(-1)^2 - 10*(-1) + 24 = 6 - 5 + 38 + 10 + 24 = 73. Не корень.
• Подставим x = 2:
• 6*2^4 + 5*2^3 + 38*2^2 - 10*2 + 24 = 96 + 40 + 152 - 20 + 24 = 292. Не корень.
• Подставим x = -3:
• 6*(-3)^4 + 5*(-3)^3 + 38*(-3)^2 - 10*(-3) + 24 = 486 - 135 + 342 + 30 + 24 = 747. Не корень.

Таким образом, мы не нашли рациональные корни. В этом случае мы можем использовать численные методы, такие как метод Ньютона, или графический метод для нахождения корней. Также можно использовать числовые методы для нахождения приближенных значений корней.

В итоге, для первого уравнения мы нашли два действительных корня и два комплексных. Для второго уравнения необходимо применять численные методы для нахождения корней.