Как решить следующую систему уравнений?

1. log₂ (x-y) = 1
2. 2^x * 3^y + 1 = 72

Математика 11 класс Системы уравнений решение системы уравнений математика 11 класс логарифмы экспоненты algebra уравнения с логарифмами как решить уравнения Новый

Для решения системы уравнений:

1. log₂ (x-y) = 1

2. 2^x * 3^y + 1 = 72

Начнем с первого уравнения:

1. У нас есть логарифмическое уравнение: log₂ (x-y) = 1. Это означает, что x - y = 2^1, так как логарифм по основанию 2 равен 1, когда его аргумент равен 2.
2. Таким образом, мы получаем: x - y = 2. Это уравнение можно записать как x = y + 2.

Теперь подставим это значение x во второе уравнение:

1. У нас есть второе уравнение: 2^x * 3^y + 1 = 72.
2. Подставим x = y + 2: 2^(y + 2) * 3^y + 1 = 72.
3. Упрощаем: 2^y * 2^2 * 3^y + 1 = 72, что можно записать как 4 * 2^y * 3^y + 1 = 72.
4. Теперь вычтем 1 из обеих сторон: 4 * 2^y * 3^y = 71.
5. Разделим обе стороны на 4: 2^y * 3^y = 71/4.

Теперь у нас есть уравнение:

2^y * 3^y = 17.75.

Это уравнение можно решить, используя метод подбора или логарифмы. Попробуем подобрать значение y:

• Если y = 1, то 2^1 * 3^1 = 2 * 3 = 6 (меньше 17.75).
• Если y = 2, то 2^2 * 3^2 = 4 * 9 = 36 (больше 17.75).
• Таким образом, y находится между 1 и 2.

Теперь попробуем найти y с помощью логарифмов:

1. Запишем 2^y * 3^y = (2 * 3)^y = 6^y, тогда 6^y = 17.75.
2. Применим логарифм: y * log(6) = log(17.75).
3. Следовательно, y = log(17.75) / log(6).

Теперь находим значение x:

1. Подставляем найденное значение y в x = y + 2.

Таким образом, мы нашли значения x и y, которые удовлетворяют обоим уравнениям. Вычисления могут потребовать калькулятора для нахождения логарифмов, но в целом процесс решения системы уравнений завершен.