Похожие вопросы
2025-11-03 18:02:08
Как решить уравнение 16arcctg²x - 16πarcctgx + 3π² = 0?
Математика 11 класс Уравнения с обратными тригонометрическими функциями решение уравнения математика 11 класс arcctg уравнения с arcctg алгебра Тригонометрия математические уравнения Новый
2025-11-03 18:02:29
Чтобы решить уравнение 16arcctg²x - 16πarcctgx + 3π² = 0, давайте сначала сделаем замену переменной для упрощения. Обозначим:
- y = arcctg x
Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:
- 16y² - 16πy + 3π² = 0
Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения:
- y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
В нашем случае:
- a = 16
- b = -16π
- c = 3π²
Теперь подставим значения a, b и c в формулу:
- Сначала найдем дискриминант:
- D = b² - 4ac = (-16π)² - 4 * 16 * 3π²
- D = 256π² - 192π² = 64π²
- Теперь можем найти корни:
- y₁ = (16π + √(64π²)) / (2 * 16) = (16π + 8π) / 32 = 24π / 32 = 3π / 4
- y₂ = (16π - √(64π²)) / (2 * 16) = (16π - 8π) / 32 = 8π / 32 = π / 4
Теперь у нас есть два значения для y:
- y₁ = 3π / 4
- y₂ = π / 4
Теперь вспомним, что y = arcctg x. Значит, нам нужно найти x для каждого из значений y:
- Для y₁ = 3π / 4:
- arcctg x = 3π / 4
- Следовательно, x = ctg(3π / 4) = -1
- Для y₂ = π / 4:
- arcctg x = π / 4
- Следовательно, x = ctg(π / 4) = 1
Таким образом, у нас есть два решения уравнения:
- x = -1
- x = 1
Ответ: x = -1 и x = 1.