Для решения уравнения 2 cos²x - √3 cosx - 3 = 0, начнем с того, что это квадратное уравнение относительно cosx. Давайте обозначим cosx как y. Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

2y² - √3y - 3 = 0

Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем уравнении a = 2, b = -√3, c = -3. Подставим эти значения в формулу:

1. Вычислим дискриминант:
• D = b² - 4ac = (-√3)² - 4 * 2 * (-3) = 3 + 24 = 27.
2. Теперь подставим дискриминант в формулу:
• y = (√3 ± √27) / 4.
• √27 можно упростить: √27 = 3√3.
• Таким образом, у нас получится два корня:
• y₁ = (√3 + 3√3) / 4 = (4√3) / 4 = √3.
• y₂ = (√3 - 3√3) / 4 = (-2√3) / 4 = -√3/2.

Теперь у нас есть два значения для cosx:

cosx = √3 и cosx = -√3/2.

Теперь найдем x для каждого из этих значений:

1. Для cosx = √3:
• Это значение не имеет решения, так как cosx может принимать значения только в диапазоне от -1 до 1. Поэтому этот корень мы отбрасываем.
2. Для cosx = -√3/2:
• Значение cosx = -√3/2 соответствует углам x = 5π/6 + 2kπ и x = 7π/6 + 2kπ, где k - целое число.

Теперь найдем корни на отрезке [7; 11]. Для этого преобразуем углы в радианы:

5π/6 ≈ 2.618 и 7π/6 ≈ 3.665.

Теперь добавим 2kπ, чтобы найти значения, которые находятся в заданном диапазоне:

• Для k = 1:
• x₁ = 5π/6 + 2π ≈ 2.618 + 6.283 = 8.901.
• x₂ = 7π/6 + 2π ≈ 3.665 + 6.283 = 9.948.
• Для k = 2:
• x₁ = 5π/6 + 4π ≈ 2.618 + 12.566 = 15.184 (выходит за пределы диапазона).
• x₂ = 7π/6 + 4π ≈ 3.665 + 12.566 = 16.231 (выходит за пределы диапазона).

Таким образом, корни уравнения 2 cos²x - √3 cosx - 3 = 0 на отрезке [7; 11:

x₁ ≈ 8.901 и x₂ ≈ 9.948.