Как решить уравнение под корнем х+2 - под корнем х-6 = 2?

Математика 11 класс Решение уравнений с корнями уравнение под корнем решение математика 11 класс х+2 х-6 квадратный корень алгебра уравнения с корнями методы решения математические задачи Новый

Решим уравнение под корнем: √(x + 2) - √(x - 6) = 2.

Первым шагом мы изолируем один из корней. Чтобы упростить дальнейшие действия, мы можем возвести обе стороны уравнения в квадрат. Это позволит избавиться от корней:

1. Возводим обе стороны уравнения в квадрат:
(√(x + 2) - √(x - 6))^2 = 2^2
2. Раскрываем квадрат левой стороны:
(√(x + 2))^2 - 2 * √(x + 2) * √(x - 6) + (√(x - 6))^2 = 4

После раскрытия скобок у нас получится:

x + 2 - 2√((x + 2)(x - 6)) + x - 6 = 4

Соберем подобные слагаемые:

2x - 4 - 2√((x + 2)(x - 6)) = 4

Теперь изолируем корень:

1. Переносим все, что не содержит корень, в правую сторону:
-2√((x + 2)(x - 6)) = 4 + 4 - 2x
2. Упрощаем правую часть:
2√((x + 2)(x - 6)) = 2x - 8

Теперь снова возводим обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(2√((x + 2)(x - 6)))^2 = (2x - 8)^2

Это даст нам:

4 * (x + 2)(x - 6) = 4x^2 - 32x + 64

Раскроем скобки на левой стороне:

4 * (x^2 - 4x - 12) = 4x^2 - 32x + 64

Теперь у нас будет:

4x^2 - 16x - 48 = 4x^2 - 32x + 64

Теперь можно привести подобные члены. Переносим все члены в одну сторону уравнения:

-16x - 48 = -32x + 64

Упрощаем:

1. Переносим -32x в левую сторону:
32x - 16x = 64 + 48
2. Упрощаем обе стороны:
16x = 112

Теперь делим обе стороны на 16:

x = 7

На последнем этапе нам нужно проверить, подходит ли найденное значение x = 7 в исходное уравнение. Подставим его обратно:

√(7 + 2) - √(7 - 6) = √9 - √1 = 3 - 1 = 2

Так как равенство выполняется, то наш ответ:

7