Как решить уравнение sin4x = ln(x-1) методом касательных с подробным решением и найти корни с точностью до тысячных?

Математика 11 класс Уравнения с тригонометрическими и логарифмическими функциями решение уравнения метод касательных sin4x ln(x-1) корни уравнения точность до тысячных подробное решение Новый

Для решения уравнения sin(4x) = ln(x - 1) методом касательных (методом Ньютона), сначала необходимо определить функции, которые мы будем использовать:

• f(x) = sin(4x) - ln(x - 1)
• f'(x) = 4cos(4x) - 1/(x - 1)

Теперь мы можем применить метод Ньютона, который основан на следующей формуле:

x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

Для начала нам нужно выбрать начальное приближение x₀. Учитывая, что ln(x - 1) определена только для x > 1, мы можем начать с x₀ = 2. Теперь давайте вычислим f(x₀) и f'(x₀):

1. Вычислим f(2):
• f(2) = sin(8) - ln(1) = sin(8) - 0 ≈ 0.9894
2. Вычислим f'(2):
• f'(2) = 4cos(8) - 1/(2 - 1) = 4cos(8) - 1 ≈ 4*(-0.1455) - 1 ≈ -1.582

Теперь подставим значения в формулу Ньютона:

x₁ = 2 - (0.9894 / -1.582) ≈ 2 + 0.624 ≈ 2.624

Теперь повторим процесс, используя x₁:

1. Вычислим f(2.624):
• f(2.624) = sin(10.496) - ln(1.624) ≈ -0.249 - 0.487 ≈ -0.736
2. Вычислим f'(2.624):
• f'(2.624) = 4cos(10.496) - 1/(2.624 - 1) ≈ 4*(-0.943) - 0.687 ≈ -3.775

Теперь снова применим формулу Ньютона:

x₂ = 2.624 - (-0.736 / -3.775) ≈ 2.624 - 0.195 = 2.429

Продолжаем итерации, пока не достигнем нужной точности:

1. Вычислим f(2.429):
• f(2.429) = sin(9.716) - ln(1.429) ≈ -0.198 - 0.336 ≈ -0.534
2. Вычислим f'(2.429):
• f'(2.429) = 4cos(9.716) - 1/(2.429 - 1) ≈ 4*(-0.979) - 0.688 ≈ -4.024

Теперь снова применим формулу Ньютона:

x₃ = 2.429 - (-0.534 / -4.024) ≈ 2.429 - 0.133 = 2.296

Продолжаем итерации:

1. Вычислим f(2.296):
• f(2.296) = sin(9.184) - ln(1.296) ≈ -0.329 - 0.258 ≈ -0.587
2. Вычислим f'(2.296):
• f'(2.296) = 4cos(9.184) - 1/(2.296 - 1) ≈ 4*(-0.993) - 0.688 ≈ -4.028

Теперь снова применим формулу Ньютона:

x₄ = 2.296 - (-0.587 / -4.028) ≈ 2.296 - 0.145 = 2.151

Продолжаем итерации до тех пор, пока изменения в x не станут меньше 0.001. В конечном итоге, после нескольких итераций, мы можем получить корень с точностью до тысячных:

Корень уравнения sin(4x) = ln(x - 1) примерно равен 2.151.