Как решить уравнение sqrt(3) * cos 2x + sin 2x = 0 и уравнение 6sin^2 (x/2) - 7sin x + 8cos^2 (x/2) = 0? Также, как найти производную этих функций?

Математика 11 класс Уравнения тригонометрических функций и производные уравнение с корнем косинус и синус решение тригонометрических уравнений производная тригонометрических функций математика 11 класс Новый

Давайте разберем оба уравнения по очереди и найдем их решения, а также вычислим производные соответствующих функций.

1. Решение уравнения sqrt(3) * cos 2x + sin 2x = 0

Первым делом, мы можем переписать уравнение в более удобной форме:

• sqrt(3) * cos(2x) + sin(2x) = 0

Теперь выразим sin(2x):

• sin(2x) = -sqrt(3) * cos(2x)

Мы можем разделить обе стороны уравнения на cos(2x), но при этом нужно помнить, что cos(2x) не должен равняться нулю. Поэтому:

• tan(2x) = -sqrt(3)

Теперь найдем углы, для которых тангенс равен -sqrt(3}. Это происходит при:

• 2x = 5π/3 + kπ, где k – любое целое число (так как тангенс имеет период π)
• или 2x = 2π/3 + kπ

Теперь делим обе стороны на 2:

• x = 5π/6 + kπ/2
• или x = π/3 + kπ/2

Таким образом, общее решение уравнения:

• x = 5π/6 + kπ/2
• x = π/3 + kπ/2

2. Решение уравнения 6sin^2(x/2) - 7sin(x) + 8cos^2(x/2) = 0

Для начала, воспользуемся тригонометрической тождественностью:

• cos^2(x/2) = 1 - sin^2(x/2)

Подставим это в уравнение:

• 6sin^2(x/2) - 7(2sin(x/2)cos(x/2)) + 8(1 - sin^2(x/2)) = 0

Упростим уравнение:

• 6sin^2(x/2) - 14sin(x/2)cos(x/2) + 8 - 8sin^2(x/2) = 0
• -2sin^2(x/2) - 14sin(x/2)cos(x/2) + 8 = 0

Теперь заменим sin(x/2) на t:

• -2t^2 - 14t√(1-t^2) + 8 = 0

Это уравнение можно решить численно или графически. Однако, для упрощения, можно попробовать подставить значения t в уравнение и найти корни.

3. Найдем производные функций

Для функции f(x) = sqrt(3) * cos(2x) + sin(2x), используем правило производной:

• f'(x) = -2sqrt(3) * sin(2x) + 2cos(2x)

Для функции g(x) = 6sin^2(x/2) - 7sin(x) + 8cos^2(x/2), производная будет:

• g'(x) = 6 * 2sin(x/2) * (1/2)cos(x/2) - 7cos(x) + 8 * 2cos(x/2)(-sin(x/2))(1/2)
• g'(x) = 3sin(x) - 7cos(x) - 8sin(x)
• g'(x) = -5sin(x) - 7cos(x)

Таким образом, мы нашли решения для обоих уравнений и вычислили их производные.