Для решения уравнения [x^3] + 3[x]^2 + 3[x] = {x} + 2, где [x] - целая часть числа x, а {x} - дробная часть числа x, начнем с анализа обеих частей уравнения.

1. Обозначим [x] как n, где n - целое число. Тогда можно выразить x как:

• x = n + {x}, где {x} = x - n.

2. Подставим x в уравнение:

• [x^3] = [n^3 + 3n^2{x} + 3n{x}^2 + {x}^3].

3. Поскольку для целых чисел n дробная часть {x} всегда меньше 1, то:

• [x^3] = n^3, когда {x} незначительна.

4. Теперь подставим это в уравнение:

• n^3 + 3n^2 + 3n = {x} + 2.

5. Из этого уравнения выразим дробную часть {x}:

• {x} = n^3 + 3n^2 + 3n - 2.

6. Поскольку {x} - дробная часть, она должна удовлетворять условию:

• 0 ≤ {x} < 1.

7. Подставим это условие в неравенства:

• 0 ≤ n^3 + 3n^2 + 3n - 2 < 1.

8. Теперь решим два неравенства:

1. n^3 + 3n^2 + 3n - 2 ≥ 0:
• Решим уравнение n^3 + 3n^2 + 3n - 2 = 0. Можно попробовать подставить различные значения n:
• При n = 0: 0 + 0 + 0 - 2 = -2 (не подходит).
• При n = 1: 1 + 3 + 3 - 2 = 5 (подходит).
• При n = -1: -1 + 3 - 3 - 2 = -3 (не подходит).
• Таким образом, n ≥ 1.

2. n^3 + 3n^2 + 3n - 2 < 1:
• Перепишем неравенство: n^3 + 3n^2 + 3n - 3 < 0.
• Решим уравнение n^3 + 3n^2 + 3n - 3 = 0. Подставим n = 1:
• 1 + 3 + 3 - 3 = 4 (не подходит).
• Подставим n = 0: 0 + 0 + 0 - 3 = -3 (подходит).
• Подставим n = -1: -1 + 3 - 3 - 3 = -4 (подходит).
• Таким образом, n < 1.

9. Получаем, что n должно быть целым числом, удовлетворяющим условиям:

• 1 ≤ n < 1, что невозможно.

Таким образом, уравнение не имеет решений в целых числах. Следовательно, решение уравнения отсутствует.