Как решить уравнение z в четвертой степени плюс i равно нулю?

Математика 11 класс Комплексные числа и уравнения уравнение z в четвертой степени решить математика 11 класс комплексные числа алгебра I ноль Новый

Чтобы решить уравнение z^4 + i = 0, начнем с того, что мы можем переписать его в более удобной форме:

z^4 = -i

Теперь нам нужно выразить -i в полярной форме. Напомним, что комплексное число можно представить в виде r(cos(θ) + i sin(θ)), где r — это модуль числа, а θ — аргумент.

Для числа -i:

• Модуль r равен 1, так как |-i| = 1.
• Аргумент θ равен 3π/2 (или 270°), так как это угол, соответствующий отрицательной части мнимой оси.

Таким образом, мы можем записать -i в полярной форме:

-i = 1(cos(3π/2) + i sin(3π/2))

Теперь мы можем использовать формулу для извлечения корня четвертой степени. Если z^4 = r(cos(θ) + i sin(θ)), то:

z = r^(1/4)(cos((θ + 2kπ)/4) + i sin((θ + 2kπ)/4)), где k — любое целое число от 0 до 3 (так как мы ищем корни четвертой степени).

Подставляем наши значения:

• r = 1, значит r^(1/4) = 1.
• θ = 3π/2.

Теперь подставляем в формулу:

z = 1(cos((3π/2 + 2kπ)/4) + i sin((3π/2 + 2kπ)/4))

Рассмотрим значения k = 0, 1, 2, 3:

1. Для k = 0:

   z = cos(3π/8) + i sin(3π/8)

2. Для k = 1:

   z = cos(11π/8) + i sin(11π/8)

3. Для k = 2:

   z = cos(19π/8) + i sin(19π/8)

4. Для k = 3:

   z = cos(27π/8) + i sin(27π/8)

Таким образом, у нас есть четыре корня уравнения:

• z1 = cos(3π/8) + i sin(3π/8)
• z2 = cos(11π/8) + i sin(11π/8)
• z3 = cos(19π/8) + i sin(19π/8)
• z4 = cos(27π/8) + i sin(27π/8)

Это и есть решения уравнения z^4 + i = 0.