Как с помощью производной можно определить точки экстремума функции F(x) = x^3 - 7x^2 + 11x - 21, а также как составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x = 1?

Математика 11 класс Экстремумы и касательные к графику функции производная точки экстремума функция касательная график уравнение x^3 - 7x^2 + 11x - 21 x = 1

Чтобы определить точки экстремума функции F(x) = x^3 - 7x^2 + 11x - 21, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции F(x). Производная функции F'(x) показывает, как изменяется функция F(x) и помогает найти точки, в которых функция может иметь экстремумы (максимумы или минимумы).
2. Вычислим производную:
• F'(x) = 3x^2 - 14x + 11.
3. Найти критические точки. Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Для этого решим уравнение F'(x) = 0:
• 3x^2 - 14x + 11 = 0.
4. Решим это квадратное уравнение. Используем дискриминант:
• D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 * 3 * 11 = 196 - 132 = 64.
• Так как D > 0, у нас два различных корня.
• Найдем корни по формуле x = (-b ± √D) / (2a):
• x1 = (14 + 8) / 6 = 22 / 6 = 11/3;
• x2 = (14 - 8) / 6 = 6 / 6 = 1.
5. Определить, является ли каждая критическая точка максимумом или минимумом. Для этого можно использовать второй производной тест:
• Найдем вторую производную: F''(x) = 6x - 14.
• Теперь подставим критические точки:
• Для x = 1: F''(1) = 6 * 1 - 14 = 6 - 14 = -8 (меньше 0, значит максимум);
• Для x = 11/3: F''(11/3) = 6 * (11/3) - 14 = 22 - 14 = 8 (больше 0, значит минимум).

Таким образом, мы нашли, что:

• В точке x = 1 находится максимум;
• В точке x = 11/3 находится минимум.

Теперь давайте составим уравнение касательной к графику функции F(x) в точке x = 1:

1. Найдем значение функции в этой точке:
• F(1) = 1^3 - 7*1^2 + 11*1 - 21 = 1 - 7 + 11 - 21 = -16.
2. Найдем значение производной в этой точке:
• F'(1) = 3*1^2 - 14*1 + 11 = 3 - 14 + 11 = 0.
3. Теперь можем записать уравнение касательной: Уравнение касательной имеет вид y = F'(x0)(x - x0) + F(x0), где x0 = 1.
• Так как F'(1) = 0, уравнение касательной будет: y = 0(x - 1) - 16 = -16.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции F(x) в точке x = 1: y = -16.

Для определения точек экстремума функции F(x) = x^3 - 7x^2 + 11x - 21 с помощью производной, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти первую производную функции:

Первая производная F'(x) показывает, как изменяется функция F(x) и используется для нахождения критических точек. Для данной функции:

• F'(x) = 3x^2 - 14x + 11.
2. Найти критические точки:

Критические точки находятся из уравнения F'(x) = 0. Решим уравнение:

• 3x^2 - 14x + 11 = 0.

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 * 3 * 11 = 196 - 132 = 64.

Так как D > 0, у уравнения есть два различных корня:

• x1 = (14 + √64) / (2 * 3) = (14 + 8) / 6 = 22 / 6 = 11 / 3,
• x2 = (14 - √64) / (2 * 3) = (14 - 8) / 6 = 6 / 6 = 1.
3. Определить тип экстремума:

Для этого нужно найти вторую производную F''(x):

• F''(x) = 6x - 14.

Теперь подставим найденные критические точки:

• F''(1) = 6(1) - 14 = 6 - 14 = -8 (точка x = 1 - максимум),
• F''(11/3) = 6(11/3) - 14 = 22 - 14 = 8 (точка x = 11/3 - минимум).

Таким образом, функция имеет максимум в точке x = 1 и минимум в точке x = 11/3.

Теперь рассмотрим, как составить уравнение касательной к графику функции F(x) в точке x = 1:

1. Найти значение функции в точке x = 1:

Подставляем x = 1 в F(x):

• F(1) = 1^3 - 7(1)^2 + 11(1) - 21 = 1 - 7 + 11 - 21 = -16.
2. Найти значение производной в точке x = 1:

Подставляем x = 1 в F'(x):

• F'(1) = 3(1)^2 - 14(1) + 11 = 3 - 14 + 11 = 0.
3. Составить уравнение касательной:

Уравнение касательной имеет вид:

• y - F(a) = F'(a)(x - a),

где a - это точка касания (в нашем случае a = 1). Подставляем значения:

• y - (-16) = 0(x - 1),
• y + 16 = 0.

Таким образом, уравнение касательной в точке x = 1: y = -16.

В заключение, мы определили точки экстремума функции и составили уравнение касательной к графику функции в заданной точке.