Как составить многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, если известны корни a1, a2, a3 с определенной кратностью?

При этом a1=2, a2=3-i второй кратности и a3=-i второй кратности.

Математика 11 класс Многочлены и корни многочленов многочлен наименьшая степень действительные коэффициенты корни кратность математика Новый

Для составления многочлена наименьшей степени с действительными коэффициентами, зная корни, необходимо учитывать, что комплексные корни всегда идут парами. Это значит, что если в качестве корня имеется комплексное число, то его комплексно-сопряженное число также должно быть корнем многочлена.

В данном случае у нас есть следующие корни:

• a1 = 2 (корень действительный, кратность 1)
• a2 = 3 - i (корень комплексный, кратность 2)
• a3 = -i (корень комплексный, кратность 2)

Сначала найдем комплексно-сопряженные корни:

• Комплексно-сопряженный корень к a2 = 3 + i (так как у нас есть корень 3 - i, его сопряженный 3 + i также должен быть корнем)
• Комплексно-сопряженный корень к a3 = i (так как у нас есть корень -i, его сопряженный i также должен быть корнем)

Теперь у нас есть все корни, которые будут использоваться для составления многочлена:

• 2 (кратность 1)
• 3 - i (кратность 2)
• 3 + i (кратность 2)
• -i (кратность 2)
• i (кратность 2)

Теперь мы можем записать многочлен через его корни. Формула для многочлена P(x) с корнями a1, a2, a3 и их кратностями выглядит следующим образом:

P(x) = (x - a1)^(k1) * (x - a2)^(k2) * (x - a3)^(k3) * ...

Где k1, k2, k3 - кратности корней.

Подставляя наши корни и их кратности, мы получаем:

P(x) = (x - 2)^(1) * (x - (3 - i))^(2) * (x - (3 + i))^(2) * (x - (-i))^(2) * (x - i)^(2)

Теперь упрощаем выражение:

1. Сначала найдем (x - (3 - i))(x - (3 + i)):

(x - 3 + i)(x - 3 - i) = (x - 3)^2 - i^2 = (x - 3)^2 + 1 = (x - 3)^2 + 1

2. Затем найдем (x + i)(x - i):

(x + i)(x - i) = x^2 - i^2 = x^2 + 1

Теперь подставим это в многочлен:

P(x) = (x - 2)( (x - 3)^2 + 1 )^2 * (x^2 + 1)^2

Таким образом, мы получили многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, который имеет заданные корни с указанной кратностью.