Как составить уравнение геометрического места точек, для которых отношение расстояний до заданной точки A(2;0) и до прямой x=8 равно 0,5? Как привести полученное уравнение к каноническому виду и построить соответствующую кривую?

Математика 11 класс Геометрическое место точек уравнение геометрического места расстояние до точки расстояние до прямой отношение расстояний канонический вид уравнения построение кривой математика 11 класс Новый

Чтобы составить уравнение геометрического места точек, для которых отношение расстояний до заданной точки A(2;0) и до прямой x=8 равно 0,5, следуем следующим шагам:

1. Определим расстояние от точки P(x, y) до точки A(2, 0):
• Расстояние вычисляется по формуле: d_A = √((x - 2)² + (y - 0)²).
2. Определим расстояние от точки P(x, y) до прямой x=8:
• Расстояние от точки до вертикальной прямой вычисляется как: d_{line} = |x - 8|.
3. Составим уравнение по условию задачи:
• По условию задачи у нас есть отношение расстояний: d_A / d_{line} = 0.5.
• Подставим выражения для расстояний: √((x - 2)² + y²) / |x - 8| = 0.5.
4. Упростим уравнение:
• Перемножим обе стороны на |x - 8|: √((x - 2)² + y²) = 0.5 * |x - 8|.
• Теперь возведем обе стороны в квадрат: (x - 2)² + y² = 0.25 * (x - 8)².
5. Раскроем скобки и упростим уравнение:
• Сначала раскроем правую часть: (x - 8)² = x² - 16x + 64.
• Подставим это в уравнение: (x - 2)² + y² = 0.25 * (x² - 16x + 64).
• Теперь раскроем левую часть: (x - 2)² = x² - 4x + 4.
• И подставим: x² - 4x + 4 + y² = 0.25 * (x² - 16x + 64).
6. Приведем все к одной стороне:
• Умножим правую часть на 4, чтобы избавиться от дроби: 4(x² - 4x + 4 + y²) = x² - 16x + 64.
• Раскроем: 4x² - 16x + 16 + 4y² = x² - 16x + 64.
• Переносим все в одну сторону: 4x² - x² + 4y² + 16 - 64 = 0.
• Упрощаем: 3x² + 4y² - 48 = 0.
7. Приведем уравнение к каноническому виду:
• Разделим все на 48: x²/16 + y²/12 = 1.
• Теперь у нас уравнение эллипса в каноническом виде.
8. Построим соответствующую кривую:
• Эллипс имеет центр в начале координат (0,0), полуось по x равна 4 (√16), а полуось по y равна √12 (примерно 3.46).
• Для построения эллипса нарисуйте оси координат и отметьте полуоси.
• Затем, используя эти значения, нарисуйте эллипс, который будет симметричен относительно обеих осей.

Таким образом, мы получили уравнение геометрического места точек и привели его к каноническому виду, а также описали, как построить соответствующую кривую.