Как составить закон распределения дискретной случайной величины X для следующих задач:

1. В команде 8 рабочих, из которых 5 являются учащимися. Наугад выбраны 3 человека. Каков закон распределения числа учащихся среди отобранных рабочих?
2. Устройство состоит из четырех элементов, которые работают независимо друг от друга. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте составляет 0,2. Каков закон распределения числа работающих элементов в одном опыте?
3. На складе есть 8 буровых коронок, из которых 3 изношены. Наугад выбраны 3 буровые коронки. Каков закон распределения числа годных буровых коронок среди выбранных?

Математика 11 класс Комбинаторная вероятность и законы распределения дискретных случайных величин закон распределения дискретная случайная величина комбинаторика вероятность задачи по математике учащиеся отказ элементов работающие элементы буровые коронки годные буровые коронки Новый

Давайте разберем каждую из задач по отдельности и составим закон распределения дискретной случайной величины X.

Задача 1:

В команде 8 рабочих, из которых 5 являются учащимися. Наугад выбраны 3 человека. Нужно найти закон распределения числа учащихся среди отобранных рабочих.

1. Обозначим случайную величину X как количество учащихся среди выбранных рабочих.
2. Возможные значения X: 0, 1, 2, 3 (то есть мы можем выбрать от 0 до 3 учащихся).
3. Общее количество способов выбрать 3 рабочих из 8 равно C(8, 3).
4. Теперь найдем количество способов выбрать k учащихся и (3-k) рабочих:
• Для X = 0: выбираем 0 учащихся и 3 рабочих. Количество способов: C(5, 0) * C(3, 3) = 1.
• Для X = 1: выбираем 1 учащегося и 2 рабочих. Количество способов: C(5, 1) * C(3, 2) = 5 * 3 = 15.
• Для X = 2: выбираем 2 учащихся и 1 рабочего. Количество способов: C(5, 2) * C(3, 1) = 10 * 3 = 30.
• Для X = 3: выбираем 3 учащихся и 0 рабочих. Количество способов: C(5, 3) * C(3, 0) = 10.
5. Теперь найдем общее количество способов выбрать 3 рабочих: C(8, 3) = 56.
6. Вероятности для каждого значения X:
• P(X=0) = 1/56
• P(X=1) = 15/56
• P(X=2) = 30/56
• P(X=3) = 10/56
7. Таким образом, закон распределения X можно записать в виде:
• X = 0, P(X=0) = 1/56
• X = 1, P(X=1) = 15/56
• X = 2, P(X=2) = 30/56
• X = 3, P(X=3) = 10/56

Задача 2:

Устройство состоит из четырех элементов, которые работают независимо друг от друга. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте составляет 0,2. Нужно найти закон распределения числа работающих элементов.

1. Обозначим случайную величину Y как количество работающих элементов.
2. Поскольку вероятность отказа p = 0,2, то вероятность работы q = 1 - p = 0,8.
3. Количество работающих элементов Y может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4.
4. Используем биномиальное распределение, где n = 4, p = 0,8:
• P(Y=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k).
5. Теперь найдем вероятности:
• P(Y=0) = C(4, 0) * (0,8)^0 * (0,2)^4 = 1 * 1 * 0,0016 = 0,0016.
• P(Y=1) = C(4, 1) * (0,8)^1 * (0,2)^3 = 4 * 0,8 * 0,008 = 0,0256.
• P(Y=2) = C(4, 2) * (0,8)^2 * (0,2)^2 = 6 * 0,64 * 0,04 = 0,1536.
• P(Y=3) = C(4, 3) * (0,8)^3 * (0,2)^1 = 4 * 0,512 * 0,2 = 0,4096.
• P(Y=4) = C(4, 4) * (0,8)^4 * (0,2)^0 = 1 * 0,4096 * 1 = 0,4096.
6. Закон распределения Y:
• Y = 0, P(Y=0) = 0,0016
• Y = 1, P(Y=1) = 0,0256
• Y = 2, P(Y=2) = 0,1536
• Y = 3, P(Y=3) = 0,4096
• Y = 4, P(Y=4) = 0,4096

Задача 3:

На складе есть 8 буровых коронок, из которых 3 изношены. Наугад выбраны 3 буровые коронки. Нужно найти закон распределения числа годных буровых коронок среди выбранных.

1. Обозначим случайную величину Z как количество годных буровых коронок.
2. Возможные значения Z: 0, 1, 2, 3.
3. Общее количество способов выбрать 3 буровые коронки из 8 равно C(8, 3).
4. Теперь найдем количество способов выбрать k годных коронок и (3-k) изношенных:
• Для Z = 0: выбираем 0 годных и 3 изношенные. Количество способов: C(5, 0) * C(3, 3) = 1.
• Для Z = 1: выбираем 1 годную и 2 изношенные. Количество способов: C(5, 1) * C(3, 2) = 5 * 3 = 15.
• Для Z = 2: выбираем 2 годные и 1 изношенную. Количество способов: C(5, 2) * C(3, 1) = 10 * 3 = 30.
• Для Z = 3: выбираем 3 годные и 0 изношенных. Количество способов: C(5, 3) * C(3, 0) = 10.
5. Общее количество способов выбрать 3 буровые коронки: C(8, 3) = 56.
6. Вероятности для каждого значения Z:
• P(Z=0) = 1/56
• P(Z=1) = 15/56
• P(Z=2) = 30/56
• P(Z=3) = 10/56
7. Закон распределения Z:
• Z = 0, P(Z=0) = 1/56
• Z = 1, P(Z=1) = 15/56
• Z = 2, P(Z=2) = 30/56
• Z = 3, P(Z=3) = 10/56

Таким образом, для всех трех задач мы составили законы распределения дискретных случайных величин. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!