Давайте разберем каждую из задач по отдельности и составим закон распределения дискретной случайной величины X.
Задача 1:
В команде 8 рабочих, из которых 5 являются учащимися. Наугад выбраны 3 человека. Нужно найти закон распределения числа учащихся среди отобранных рабочих.
- Обозначим случайную величину X как количество учащихся среди выбранных рабочих.
- Возможные значения X: 0, 1, 2, 3 (то есть мы можем выбрать от 0 до 3 учащихся).
- Общее количество способов выбрать 3 рабочих из 8 равно C(8, 3).
- Теперь найдем количество способов выбрать k учащихся и (3-k) рабочих:
- Для X = 0: выбираем 0 учащихся и 3 рабочих. Количество способов: C(5, 0) * C(3, 3) = 1.
- Для X = 1: выбираем 1 учащегося и 2 рабочих. Количество способов: C(5, 1) * C(3, 2) = 5 * 3 = 15.
- Для X = 2: выбираем 2 учащихся и 1 рабочего. Количество способов: C(5, 2) * C(3, 1) = 10 * 3 = 30.
- Для X = 3: выбираем 3 учащихся и 0 рабочих. Количество способов: C(5, 3) * C(3, 0) = 10.
- Теперь найдем общее количество способов выбрать 3 рабочих: C(8, 3) = 56.
- Вероятности для каждого значения X:
- P(X=0) = 1/56
- P(X=1) = 15/56
- P(X=2) = 30/56
- P(X=3) = 10/56
- Таким образом, закон распределения X можно записать в виде:
- X = 0, P(X=0) = 1/56
- X = 1, P(X=1) = 15/56
- X = 2, P(X=2) = 30/56
- X = 3, P(X=3) = 10/56
Задача 2:
Устройство состоит из четырех элементов, которые работают независимо друг от друга. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте составляет 0,2. Нужно найти закон распределения числа работающих элементов.
- Обозначим случайную величину Y как количество работающих элементов.
- Поскольку вероятность отказа p = 0,2, то вероятность работы q = 1 - p = 0,8.
- Количество работающих элементов Y может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4.
- Используем биномиальное распределение, где n = 4, p = 0,8:
- P(Y=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k).
- Теперь найдем вероятности:
- P(Y=0) = C(4, 0) * (0,8)^0 * (0,2)^4 = 1 * 1 * 0,0016 = 0,0016.
- P(Y=1) = C(4, 1) * (0,8)^1 * (0,2)^3 = 4 * 0,8 * 0,008 = 0,0256.
- P(Y=2) = C(4, 2) * (0,8)^2 * (0,2)^2 = 6 * 0,64 * 0,04 = 0,1536.
- P(Y=3) = C(4, 3) * (0,8)^3 * (0,2)^1 = 4 * 0,512 * 0,2 = 0,4096.
- P(Y=4) = C(4, 4) * (0,8)^4 * (0,2)^0 = 1 * 0,4096 * 1 = 0,4096.
- Закон распределения Y:
- Y = 0, P(Y=0) = 0,0016
- Y = 1, P(Y=1) = 0,0256
- Y = 2, P(Y=2) = 0,1536
- Y = 3, P(Y=3) = 0,4096
- Y = 4, P(Y=4) = 0,4096
Задача 3:
На складе есть 8 буровых коронок, из которых 3 изношены. Наугад выбраны 3 буровые коронки. Нужно найти закон распределения числа годных буровых коронок среди выбранных.
- Обозначим случайную величину Z как количество годных буровых коронок.
- Возможные значения Z: 0, 1, 2, 3.
- Общее количество способов выбрать 3 буровые коронки из 8 равно C(8, 3).
- Теперь найдем количество способов выбрать k годных коронок и (3-k) изношенных:
- Для Z = 0: выбираем 0 годных и 3 изношенные. Количество способов: C(5, 0) * C(3, 3) = 1.
- Для Z = 1: выбираем 1 годную и 2 изношенные. Количество способов: C(5, 1) * C(3, 2) = 5 * 3 = 15.
- Для Z = 2: выбираем 2 годные и 1 изношенную. Количество способов: C(5, 2) * C(3, 1) = 10 * 3 = 30.
- Для Z = 3: выбираем 3 годные и 0 изношенных. Количество способов: C(5, 3) * C(3, 0) = 10.
- Общее количество способов выбрать 3 буровые коронки: C(8, 3) = 56.
- Вероятности для каждого значения Z:
- P(Z=0) = 1/56
- P(Z=1) = 15/56
- P(Z=2) = 30/56
- P(Z=3) = 10/56
- Закон распределения Z:
- Z = 0, P(Z=0) = 1/56
- Z = 1, P(Z=1) = 15/56
- Z = 2, P(Z=2) = 30/56
- Z = 3, P(Z=3) = 10/56
Таким образом, для всех трех задач мы составили законы распределения дискретных случайных величин. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!