Как вычислить (√3 - i)^9? Можете объяснить подробнее, пожалуйста?

Математика 11 класс Комплексные числа и их степени вычисление (√3 - i)^9 математика 11 класс комплексные числа степень комплексного числа объяснение вычислений Новый

Чтобы вычислить (√3 - i)^9, мы можем использовать полярную форму комплексных чисел и теорему Муавра. Давайте разберем этот процесс шаг за шагом.

Шаг 1: Преобразование в полярную форму

Сначала найдем модуль и аргумент комплексного числа √3 - i.

• Модуль: Модуль комплексного числа z = a + bi (где a - действительная часть, b - мнимая часть) вычисляется по формуле: |z| = √(a² + b²).
• Для нашего числа a = √3 и b = -1. Подставляем:
• |√3 - i| = √((√3)² + (-1)²) = √(3 + 1) = √4 = 2.

Таким образом, модуль равен 2.

• Аргумент: Аргумент (угол) вычисляется по формуле: φ = arctan(b/a).
• В нашем случае φ = arctan(-1/√3).
• Зная, что tan(π/6) = 1/√3, мы можем заключить, что угол φ = -π/6 (поскольку мнимая часть отрицательная, и мы находимся в четвертой четверти).

Теперь можем записать комплексное число в полярной форме:

√3 - i = 2(cos(-π/6) + i sin(-π/6)).

Шаг 2: Применение теоремы Муавра

Теперь, когда мы имеем полярную форму, можем воспользоваться теоремой Муавра, которая гласит:

(r(cos φ + i sin φ))^n = r^n(cos(nφ) + i sin(nφ)),

где r - модуль, φ - аргумент, n - степень.

• В нашем случае r = 2, φ = -π/6 и n = 9.
• Сначала найдем r^n: 2^9 = 512.
• Теперь найдем nφ: 9 * (-π/6) = -3π/2.

Шаг 3: Преобразование обратно в декартову форму

Теперь подставим значения в формулу:

512(cos(-3π/2) + i sin(-3π/2)).

• Знаем, что cos(-3π/2) = 0 и sin(-3π/2) = -1.

Таким образом, получаем:

512(0 - i) = -512i.

Ответ: (√3 - i)^9 = -512i.