Как вычислить интеграл от (ln в кубе х dx)/х?

Математика 11 класс Интегралы и методы интегрирования интеграл ln в кубе вычисление интеграла математика 11 класс интегралы методы интегрирования Новый

Чтобы вычислить интеграл от функции (ln^3(x))/x, мы можем воспользоваться методом подстановки. Давайте разберем шаги решения более подробно.

1. Определяем подстановку:

   Мы знаем, что производная натурального логарифма ln(x) равна 1/x. Это подсказывает нам, что можно сделать подстановку:

   Пусть u = ln(x). Тогда du = (1/x)dx, что означает, что dx = x du = e^u du, так как x = e^u.

2. Переписываем интеграл:

   Теперь подставим u в наш интеграл:

   Интеграл становится:

   ∫ (ln^3(x))/x dx = ∫ u^3 du

3. Вычисляем новый интеграл:

   Теперь мы можем вычислить интеграл ∫ u^3 du. Используем формулу интегрирования:

   ∫ u^n du = (u^(n+1))/(n+1) + C, где C - произвольная константа.

   В нашем случае n = 3:

   ∫ u^3 du = (u^4)/4 + C.

4. Возвращаемся к переменной x:

   Теперь мы должны вернуть нашу подстановку обратно в переменную x. Помним, что u = ln(x):

   Таким образом, получаем:

   (ln^4(x))/4 + C.

Итак, окончательный ответ на интеграл от (ln^3(x))/x dx:

∫ (ln^3(x))/x dx = (ln^4(x))/4 + C.