Как вычислить определённый интеграл методом подстановки: интеграл от 0 до 1 (3x+1) в четвёртой степени dx?

Математика 11 класс Определённые интегралы и методы их вычисления определенный интеграл метод подстановки интеграл от 0 до 1 вычисление интеграла математика 11 класс Новый

Чтобы вычислить определённый интеграл от 0 до 1 функции (3x + 1) в четвёртой степени с помощью метода подстановки, следуем следующим шагам:

1. Определим подстановку. Пусть u = 3x + 1. Тогда, чтобы выразить dx через du, найдем производную u по x:
• du/dx = 3, следовательно, dx = du/3.
2. Теперь изменим пределы интегрирования. Поскольку мы заменяем переменную, нам нужно пересчитать пределы интегрирования:
• Когда x = 0, u = 3*0 + 1 = 1.
• Когда x = 1, u = 3*1 + 1 = 4.
3. Запишем интеграл в новой переменной. Теперь подставляем u и dx в интеграл:
• Интеграл от 0 до 1 (3x + 1)^4 dx = интеграл от 1 до 4 u^4 (du/3).
4. Вынесем постоянный множитель. Мы можем вынести 1/3 за знак интеграла:
• (1/3) * интеграл от 1 до 4 u^4 du.
5. Вычислим интеграл. Интеграл u^4 du равен (u^5)/5:
• (1/3) * [(u^5)/5] от 1 до 4.
6. Подставим пределы интегрирования. Теперь подставим верхний и нижний пределы:
• (1/3) * [(4^5)/5 - (1^5)/5].
• 4^5 = 1024, а 1^5 = 1.
• Таким образом, получаем: (1/3) * [(1024/5) - (1/5)] = (1/3) * (1023/5).
7. Упростим результат. Умножим 1023 на 1/3 и разделим на 5:
• Результат интеграла равен 1023/15.

Таким образом, значение определённого интеграла от 0 до 1 функции (3x + 1)^4 dx равно 1023/15.