Как вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями y=1/2x^2 и y=4-x?

Математика 11 класс Площадь фигуры, ограниченная кривыми вычислить площадь фигуры площадь криволинейной фигуры интегралы в математике графики функций ограниченные области Новый

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченную кривыми y = (1/2)x^2 и y = 4 - x, следуем этим шагам:

Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых.

Для этого приравняем обе функции:

(1/2)x^2 = 4 - x

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:

x^2 + 2x - 8 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4*1*(-8) = 4 + 32 = 36.
• Корни уравнения находятся по формуле x = (-b ± √D) / (2a):

x1 = (-2 + 6) / 2 = 2 и x2 = (-2 - 6) / 2 = -4.

Шаг 2: Определим, какая кривая выше на отрезке [-4, 2].

Подставим значения x в обе функции:

• Для x = -4: y1 = (1/2)(-4)^2 = 8, y2 = 4 - (-4) = 8. (равны)
• Для x = 0: y1 = (1/2)(0)^2 = 0, y2 = 4 - 0 = 4. (y2 выше)
• Для x = 2: y1 = (1/2)(2)^2 = 2, y2 = 4 - 2 = 2. (равны)

Таким образом, на отрезке [-4, 2] кривая y = 4 - x выше, чем y = (1/2)x^2.

Шаг 3: Запишем интеграл для площади.

Площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, можно найти по следующей формуле:

Площадь = ∫ от -4 до 2 (верхняя кривая - нижняя кривая) dx.

В нашем случае это будет:

Площадь = ∫ от -4 до 2 ((4 - x) - (1/2)x^2) dx.

Шаг 4: Вычислим интеграл.

Теперь вычислим интеграл:

• Сначала упростим выражение: 4 - x - (1/2)x^2 = - (1/2)x^2 - x + 4.
• Теперь интегрируем:

∫ (- (1/2)x^2 - x + 4) dx = - (1/6)x^3 - (1/2)x^2 + 4x + C.

Шаг 5: Найдем определенный интеграл от -4 до 2.

Теперь подставим пределы интегрирования:

• F(2) = - (1/6)(2)^3 - (1/2)(2)^2 + 4(2) = - (1/6)(8) - (1/2)(4) + 8 = - (4/3) - 2 + 8 = 8 - 2 - (4/3) = 6 - (4/3) = (18/3) - (4/3) = (14/3).
• F(-4) = - (1/6)(-4)^3 - (1/2)(-4)^2 + 4(-4) = - (1/6)(-64) - (1/2)(16) - 16 = (64/6) - 8 - 16 = (64/6) - (48/6) - (96/6) = (64 - 48 - 96) / 6 = -80 / 6 = -40 / 3.

Теперь вычисляем площадь:

Площадь = F(2) - F(-4) = (14/3) - (-40/3) = (14/3) + (40/3) = (54/3) = 18.

Ответ:

Площадь фигуры, ограниченной линиями y = (1/2)x^2 и y = 4 - x, равна 18.