Как вычислить площадь области, заключенной между графиками: y=x^2+2, y=0, x=1 и x=2?

Математика 11 класс Определение площади фигуры, ограниченной графиками функций площадь области графики y=x^2+2 y=0 x=1 x=2 вычисление площади интеграл математика 11 класс Новый

Чтобы вычислить площадь области, заключенной между графиками функций y = x^2 + 2 и y = 0, а также вертикальными линиями x = 1 и x = 2, следуем следующим шагам:

1. Найти точки пересечения графиков:

   График функции y = x^2 + 2 находится выше оси x, так как минимальное значение функции равно 2 (при x = 0). Следовательно, график y = 0 не пересекает график y = x^2 + 2 в заданном интервале.

2. Определить границы интегрирования:

   Поскольку мы ограничены вертикальными линиями x = 1 и x = 2, мы будем интегрировать от 1 до 2.

3. Записать интеграл для вычисления площади:

   Площадь области между графиками можно найти, вычислив определенный интеграл от функции y = x^2 + 2 на интервале от 1 до 2:

   Площадь = ∫(x^2 + 2) dx от 1 до 2.

4. Вычислить интеграл:
   • Находим первообразную функции x^2 + 2:
   • ∫(x^2 + 2) dx = (1/3)x^3 + 2x + C
   • Теперь подставим границы интегрирования:
   • Подставляем x = 2:
   • (1/3)(2^3) + 2(2) = (1/3)(8) + 4 = 8/3 + 4 = 8/3 + 12/3 = 20/3.
   • Подставляем x = 1:
   • (1/3)(1^3) + 2(1) = (1/3)(1) + 2 = 1/3 + 2 = 1/3 + 6/3 = 7/3.
   • Теперь вычтем результаты:
   • Площадь = (20/3) - (7/3) = 13/3.
5. Ответ:

   Площадь области, заключенной между графиками, равна 13/3 квадратных единиц.