Как вычислить производную функции sin^3(ln(x)^4)?

Математика 11 класс Производные тригонометрических функций производная функции sin^3(ln(x)^4) вычисление производной математика 11 класс правила дифференцирования Новый

Для того чтобы вычислить производную функции sin^3(ln(x)^4), нам нужно воспользоваться правилами дифференцирования, такими как правило цепи и производные стандартных функций.

Рассмотрим функцию y = sin^3(ln(x)^4). Мы видим, что это сложная функция, которая состоит из трех частей:

• внешняя функция: y = u^3, где u = sin(v)
• средняя функция: v = ln(x)^4
• внутренняя функция: ln(x)

Теперь мы можем вычислить производную поэтапно, начиная с самой внешней функции и двигаясь к внутренней.

1. Находим производную внешней функции:

   По правилу дифференцирования степенной функции, мы имеем:

   dy/du = 3u^2

2. Находим производную средней функции:

   v = ln(x)^4. Здесь мы также применяем правило цепи:

   dv/dx = 4ln(x)^3 * (1/x) = 4ln(x)^3/x

3. Находим производную внутренней функции:

   u = sin(v). Производная синуса:

   du/dv = cos(v)

Теперь мы можем объединить все эти производные, используя правило цепи:

dy/dx = dy/du * du/dv * dv/dx

Подставляем все найденные производные:

dy/dx = 3u^2 * cos(v) * (4ln(x)^3/x)

Теперь заменяем u и v обратно на их выражения:

dy/dx = 3(sin(ln(x)^4))^2 * cos(ln(x)^4) * (4ln(x)^3/x)

Таким образом, окончательная производная функции sin^3(ln(x)^4) будет равна:

dy/dx = 12 * (sin(ln(x)^4))^2 * cos(ln(x)^4) * (ln(x)^3/x)

Это и есть ответ на ваш вопрос о производной функции sin^3(ln(x)^4).