Какое истинностное значение имеет следующее высказывание:

1. a. Существует такое x, что x^2 - 2x - 3 = 0;
2. b. Для любого x выполняется неравенство x^2 + x + 1 ≥ 0;
3. c. Существует такое x, что (x^2 - 2x = 0) и (x^2 + 5x - 4 ≤ 0);
4. d. Для любого x: (если x принадлежит отрезку [2;3], то (x^2 - 4) < 0) или (x^2 + x - 1 < 0).

Математика 11 класс Логика и математический анализ истинностное значение высказывание математика неравенство уравнение x^2 - 2x - 3 x^2 + x + 1 x^2 + 5x - 4 отрезок [2;3] логика математическая логика Новый

Давайте рассмотрим каждое из высказываний по отдельности и определим их истинностные значения.

a. Существует такое x, что x^2 - 2x - 3 = 0;

Это уравнение можно решить с помощью факторизации или применения формулы корней квадратного уравнения. Мы можем разложить его на множители:

• x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) = 0

Таким образом, у нас есть два корня: x = 3 и x = -1. Поскольку мы нашли такие x, для которых уравнение верно, это высказывание является истинным.

b. Для любого x выполняется неравенство x^2 + x + 1 ≥ 0;

Рассмотрим функцию f(x) = x^2 + x + 1. Это квадратная функция, которая открыта вверх (коэффициент при x^2 положителен). Мы можем найти дискриминант:

• D = 1^2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3

Дискриминант отрицательный, что означает, что у функции нет действительных корней и она не пересекает ось x. Значит, f(x) всегда положительна для всех x. Следовательно, это высказывание также истинно.

c. Существует такое x, что (x^2 - 2x = 0) и (x^2 + 5x - 4 ≤ 0);

Решим первое уравнение:

• x^2 - 2x = 0 ⟹ x(x - 2) = 0 ⟹ x = 0 или x = 2.

Теперь проверим, выполняется ли второе неравенство для этих значений x:

• Для x = 0: 0^2 + 5*0 - 4 = -4 ≤ 0 (истинно).
• Для x = 2: 2^2 + 5*2 - 4 = 4 + 10 - 4 = 10 > 0 (ложно).

Поскольку существует хотя бы одно значение x (в данном случае x = 0), для которого оба условия выполняются, это высказывание является истинным.

d. Для любого x: (если x принадлежит отрезку [2;3], то (x^2 - 4) < 0) или (x^2 + x - 1 < 0);

Рассмотрим первое условие:

• Для x из [2; 3]:
• При x = 2: 2^2 - 4 = 0 (не меньше 0).
• При x = 3: 3^2 - 4 = 5 (больше 0).

Таким образом, для x из [2; 3] выражение (x^2 - 4) < 0 не выполняется. Теперь проверим вторую часть:

• Решим неравенство x^2 + x - 1 < 0.
• Дискриминант D = 1^2 - 4 * 1 * (-1) = 1 + 4 = 5.
• Корни: x1 = (-1 + √5)/2 и x2 = (-1 - √5)/2.

Функция x^2 + x - 1 открыта вверх, и она будет меньше нуля между корнями. Однако, так как мы рассматриваем все x, не обязательно, что вторая часть истинна для всех x. Таким образом, данное высказывание является ложным, так как первое условие не выполняется для всех x из [2; 3].

Итак, подводя итог:

• a: истинно
• b: истинно
• c: истинно
• d: ложно