Какое количество различных корней имеет уравнение x в шестой степени + 2x в четвертой степени - 8x в квадрате = 0?

Математика 11 класс Уравнения с переменной высшего порядка уравнение корни шестая степень квадратное уравнение математика 11 класс Новый

Давайте решим уравнение x в шестой степени + 2x в четвертой степени - 8x в квадрате = 0 и определим количество различных корней.

Первым шагом будет вынести общий множитель. Заметим, что каждое слагаемое содержит x в квадрате. Таким образом, мы можем вынести x в квадрате за скобки:

x^2 (x^4 + 2x^2 - 8) = 0

Теперь у нас есть два множителя:

• x^2 = 0
• x^4 + 2x^2 - 8 = 0

Решим первый множитель:

• x^2 = 0 дает нам корень x = 0. Этот корень имеет кратность 2, так как мы извлекли x^2.

Теперь перейдем ко второму множителю, который является квадратным уравнением по переменной y = x^2:

y^2 + 2y - 8 = 0

Используем дискриминант для решения этого уравнения:

D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36.

Так как дискриминант положительный, у нас будет два различных корня:

y1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-2 + 6) / 2 = 2

y2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-2 - 6) / 2 = -4

Теперь вернемся к переменной x. Поскольку y = x^2, мы имеем:

• Для y1 = 2: x^2 = 2, отсюда x = sqrt(2) и x = -sqrt(2).
• Для y2 = -4: x^2 = -4, но корней в действительных числах здесь нет, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Таким образом, у нас есть следующие корни:

• x = 0 (с кратностью 2)
• x = sqrt(2)
• x = -sqrt(2)

Теперь подведем итог. У нас есть три различных корня:

• x = 0
• x = sqrt(2)
• x = -sqrt(2)

Таким образом, количество различных корней у данного уравнения равно 3.