Какое минимальное натуральное число п можно найти, чтобы:

1. п! делилось на 2016;
2. п! делилось на 2016 в десятой степени.

(Напоминаем, что п! = 1 * 2 * 3 * ... * п.)

Математика 11 класс Комбинаторика и факториалы минимальное натуральное число делимость факториала факториал и 2016 факториал делится на 2016 факториал делится на 2016 в десятой степени Новый

Чтобы найти минимальное натуральное число п, для которого п! делится на 2016 и на 2016 в десятой степени, сначала нужно разложить 2016 на простые множители.

Шаг 1: Разложение 2016 на простые множители.

Разделим 2016 на простые числа:

• 2016 = 2 * 1008
• 1008 = 2 * 504
• 504 = 2 * 252
• 252 = 2 * 126
• 126 = 2 * 63
• 63 = 3 * 21
• 21 = 3 * 7

Таким образом, 2016 = 2^5 * 3^2 * 7^1.

Шаг 2: Условия делимости п! на 2016.

Чтобы п! делилось на 2016, необходимо, чтобы в разложении п! содержались все множители 2016 с соответствующей степенью:

• 2^5
• 3^2
• 7^1

Теперь определим минимальное п, при котором п! будет содержать эти множители.

Шаг 3: Определение минимального п для каждого простого множителя.

Для этого используем формулу для нахождения количества простого множителя в факториале:

Количество простого числа p в n! = n/p + n/p^2 + n/p^3 + ...

• Для 2^5:
1. п = 5: 5/2 + 5/4 = 2 + 1 = 3 (недостаточно)
2. п = 6: 6/2 + 6/4 = 3 + 1 = 4 (недостаточно)
3. п = 7: 7/2 + 7/4 = 3 + 1 = 4 (недостаточно)
4. п = 8: 8/2 + 8/4 = 4 + 2 = 6 (достаточно)
• Для 3^2:
1. п = 4: 4/3 = 1 (недостаточно)
2. п = 5: 5/3 = 1 (недостаточно)
3. п = 6: 6/3 = 2 (достаточно)
• Для 7^1:
1. п = 7: 7/7 = 1 (достаточно)

Таким образом, минимальное п, которое удовлетворяет всем условиям, это 8.

Шаг 4: Условия делимости п! на 2016 в десятой степени.

Теперь нам нужно, чтобы п! делилось на 2016^10. Это означает, что необходимо:

• 2^50
• 3^20
• 7^10

Теперь снова определим минимальное п для каждого из этих множителей:

• Для 2^50:
1. п = 50: 50/2 + 50/4 + 50/8 + 50/16 + 50/32 = 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 47 (недостаточно)
2. п = 51: 51/2 + 51/4 + 51/8 + 51/16 + 51/32 = 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 47 (недостаточно)
3. п = 52: 52/2 + 52/4 + 52/8 + 52/16 + 52/32 = 26 + 13 + 6 + 3 + 1 = 49 (недостаточно)
4. п = 53: 53/2 + 53/4 + 53/8 + 53/16 + 53/32 = 26 + 13 + 6 + 3 + 1 = 49 (недостаточно)
5. п = 54: 54/2 + 54/4 + 54/8 + 54/16 + 54/32 = 27 + 13 + 6 + 3 + 1 = 50 (достаточно)
• Для 3^20:
1. п = 20: 20/3 + 20/9 = 6 + 2 = 8 (недостаточно)
2. п = 21: 21/3 + 21/9 = 7 + 2 = 9 (недостаточно)
3. п = 22: 22/3 + 22/9 = 7 + 2 = 9 (недостаточно)
4. п = 23: 23/3 + 23/9 = 7 + 2 = 9 (недостаточно)
5. п = 24: 24/3 + 24/9 = 8 + 2 = 10 (недостаточно)
6. п = 25: 25/3 + 25/9 = 8 + 2 = 10 (недостаточно)
7. п = 26: 26/3 + 26/9 = 8 + 2 = 10 (недостаточно)
8. п = 27: 27/3 + 27/9 = 9 + 3 = 12 (достаточно)
• Для 7^10:
1. п = 10: 10/7 = 1 (недостаточно)
2. п = 11: 11/7 = 1 (недостаточно)
3. п = 12: 12/7 = 1 (недостаточно)
4. п = 13: 13/7 = 1 (недостаточно)
5. п = 14: 14/7 = 2 (достаточно)

Теперь находим максимальное значение из минимальных п для всех простых множителей:

• 2^50: п = 54
• 3^20: п = 27
• 7^10: п = 14

Таким образом, минимальное п, чтобы п! делилось на 2016 в десятой степени, это 54.

Ответ:

• Минимальное п, чтобы п! делилось на 2016: 8
• Минимальное п, чтобы п! делилось на 2016 в десятой степени: 54