Какое наименьшее натуральное число n существует, чтобы факториал n! делился на 2023? (Напоминаю, что n! - это произведение всех натуральных чисел от 1 до n, то есть n! = 1 * 2 * ... * n.)

Математика 11 класс Факториалы и делимость факториал n делимость на 2023 Наименьшее натуральное число математика 11 класс задачи по факториалам Новый

Чтобы найти наименьшее натуральное число n, для которого факториал n! делится на 2023, нужно сначала разложить число 2023 на простые множители.

Начнем с разложения 2023:

• 2023 делится на 7, так как 2023 = 7 * 289.
• Теперь разложим 289: 289 = 17 * 17, то есть 289 = 17^2.

Таким образом, полное разложение числа 2023 на простые множители выглядит так:

2023 = 7^1 * 17^2.

Теперь нам нужно определить, какое наименьшее натуральное число n должно быть, чтобы n! содержало в себе хотя бы один множитель 7 и два множителя 17.

Для этого воспользуемся формулой для нахождения количества простого множителя p в факториале n:

k = floor(n/p) + floor(n/p^2) + floor(n/p^3) + ...

Где k - количество множителей p в n!, а floor - это функция, округляющая до целого числа в меньшую сторону.

Сначала найдем n, чтобы в n! было хотя бы 1 множитель 7:

1. Для p = 7:
2. floor(n/7) ≥ 1.
3. Это означает, что n ≥ 7.

Теперь найдем n, чтобы в n! было хотя бы 2 множителя 17:

1. Для p = 17:
2. floor(n/17) + floor(n/17^2) ≥ 2.
3. floor(n/17) ≥ 2, когда n ≥ 34.

Таким образом, наименьшее значение n, которое удовлетворяет обоим условиям:

• n ≥ 7 (для множителя 7)
• n ≥ 34 (для множителя 17)

Следовательно, наименьшее натуральное число n, для которого n! делится на 2023, это:

n = 34.