Чтобы найти среднее значение функции f(x) = x / √(1 + x) на отрезке [0; 15], нам нужно использовать формулу для среднего значения функции на заданном отрезке:

Среднее значение f на отрезке [a; b] вычисляется по формуле:

М(f) = (1 / (b - a)) * ∫(a до b) f(x) dx

Где:

• M(f) - среднее значение функции на отрезке [a; b],
• ∫(a до b) f(x) dx - определенный интеграл функции f(x) от a до b.

В нашем случае a = 0 и b = 15. Подставим в формулу:

M(f) = (1 / (15 - 0)) * ∫(0 до 15) (x / √(1 + x)) dx

Теперь нам нужно вычислить определенный интеграл ∫(0 до 15) (x / √(1 + x)) dx. Для этого мы можем использовать метод интегрирования по частям или подстановку. Давайте воспользуемся подстановкой:

Пусть u = 1 + x, тогда du = dx и x = u - 1. При этом, когда x = 0, u = 1, а когда x = 15, u = 16.

Теперь перепишем интеграл:

∫(0 до 15) (x / √(1 + x)) dx = ∫(1 до 16) ((u - 1) / √u) du

Теперь мы можем разделить этот интеграл на два:

∫(1 до 16) ((u - 1) / √u) du = ∫(1 до 16) (u / √u) du - ∫(1 до 16) (1 / √u) du

Это упрощается до:

∫(1 до 16) √u du - ∫(1 до 16) u^(-1/2) du

Теперь вычислим каждый из интегралов:

1. ∫ √u du = (2/3) * u^(3/2) + C
2. ∫ u^(-1/2) du = 2 * u^(1/2) + C

Теперь подставим пределы интегрирования:

Для первого интеграла:

(2/3) * [u^(3/2)] от 1 до 16 = (2/3) * (16^(3/2) - 1^(3/2)) = (2/3) * (64 - 1) = (2/3) * 63 = 42

Для второго интеграла:

2 * [u^(1/2)] от 1 до 16 = 2 * (16^(1/2) - 1^(1/2)) = 2 * (4 - 1) = 2 * 3 = 6

Теперь подставим результаты обратно в интеграл:

∫(0 до 15) (x / √(1 + x)) dx = 42 - 6 = 36

Теперь мы можем найти среднее значение:

M(f) = (1 / 15) * 36 = 36 / 15 = 2.4

Ответ: Среднее значение функции f(x) на отрезке [0; 15] равно 2.4.