Какое уравнение окружности с центром в точке (2;-1), если прямая 5x-12y+4=0 касается этой окружности?

Математика 11 класс Уравнение окружности уравнение окружности центр окружности прямая касается окружности координаты точки задача по математике геометрия 11 класс математика уравнение прямой касательная к окружности Новый

Чтобы найти уравнение окружности с центром в точке (2; -1), которая касается данной прямой 5x - 12y + 4 = 0, нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти расстояние от центра окружности до прямой.

Для начала, мы используем формулу для нахождения расстояния от точки до прямой. Формула выглядит следующим образом:

Расстояние = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2

где (x0, y0) - координаты точки (в нашем случае (2, -1)), а A, B, C - коэффициенты уравнения прямой Ax + By + C = 0.

В нашем случае:

• A = 5
• B = -12
• C = 4

Теперь подставим значения в формулу:

• x0 = 2
• y0 = -1

Расстояние = |5*2 - 12*(-1) + 4| / sqrt(5^2 + (-12)^2)

Расстояние = |10 + 12 + 4| / sqrt(25 + 144)

Расстояние = |26| / sqrt(169)

Расстояние = 26 / 13 = 2

Шаг 2: Использовать расстояние как радиус окружности.

Так как прямая касается окружности, это означает, что расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности. Таким образом, радиус r = 2.

Шаг 3: Записать уравнение окружности.

Уравнение окружности с центром в точке (x0, y0) и радиусом r имеет вид:

(x - x0)² + (y - y0)² = r²

Подставим наши значения:

• x0 = 2
• y0 = -1
• r = 2

(x - 2)² + (y + 1)² = 2²

(x - 2)² + (y + 1)² = 4

Ответ:

Уравнение окружности с центром в точке (2; -1) и радиусом 2, которая касается прямой 5x - 12y + 4 = 0, будет:

(x - 2)² + (y + 1)² = 4