Какое ускорение будет у тела, когда его смещение равно половине амплитуды, если оно совершает свободные колебания вдоль оси OX и его координата изменяется по закону x = -3 sin 2t (м)?

Математика 11 класс Законы колебаний ускорение тела смещение половина амплитуды свободные колебания закон изменения координаты колебания вдоль оси OX Новый

Для того чтобы найти ускорение тела, которое совершает свободные колебания, нам нужно использовать закон колебаний и производные от него.

Дано уравнение смещения:

x(t) = -3 sin(2t)

Здесь 3 - это амплитуда колебаний, а 2 - это угловая частота (в радианах в секунду).

Сначала определим амплитуду колебаний:

• Амплитуда A = 3 м.

Теперь, когда смещение равно половине амплитуды, мы можем найти это значение:

• Половина амплитуды = A/2 = 3/2 = 1.5 м.

Теперь найдем время, в котором тело находится на этом смещении. Для этого мы подставим значение x в уравнение:

-3 sin(2t) = 1.5

Решим это уравнение:

• sin(2t) = -1.5 / -3 = 0.5.
• Теперь найдем 2t: sin(2t) = 0.5.
• Это происходит при 2t = π/6 + 2kπ и 2t = 5π/6 + 2kπ, где k - любое целое число.
• Следовательно, t = π/12 + kπ и t = 5π/12 + kπ.

Теперь, чтобы найти ускорение, нам нужно взять вторую производную от смещения x(t) по времени t:

Сначала найдем первую производную (скорость):

v(t) = dx/dt = -3 * 2 cos(2t) = -6 cos(2t)

Теперь найдем вторую производную (ускорение):

a(t) = dv/dt = -6 * (-2 sin(2t)) = 12 sin(2t)

Теперь подставим значение t, которое мы нашли ранее, чтобы найти ускорение, когда x = 1.5 м:

• Для t = π/12: sin(2t) = sin(π/6) = 0.5.
• Для t = 5π/12: sin(2t) = sin(5π/6) = 0.5.

Теперь подставим значение в уравнение для ускорения:

a(t) = 12 * 0.5 = 6 м/с².

Таким образом, ускорение тела, когда его смещение равно половине амплитуды, составляет 6 м/с².