Для того чтобы найти ускорение тела, которое совершает свободные колебания, нам нужно использовать закон колебаний и производные от него.

Дано уравнение смещения:

x(t) = -3 sin(2t)

Здесь 3 - это амплитуда колебаний, а 2 - это угловая частота (в радианах в секунду).

Сначала определим амплитуду колебаний:

• Амплитуда A = 3 м.

Теперь, когда смещение равно половине амплитуды, мы можем найти это значение:

• Половина амплитуды = A/2 = 3/2 = 1.5 м.

Теперь найдем время, в котором тело находится на этом смещении. Для этого мы подставим значение x в уравнение:

-3 sin(2t) = 1.5

Решим это уравнение:

• sin(2t) = -1.5 / -3 = 0.5.
• Теперь найдем 2t: sin(2t) = 0.5.
• Это происходит при 2t = π/6 + 2kπ и 2t = 5π/6 + 2kπ, где k - любое целое число.
• Следовательно, t = π/12 + kπ и t = 5π/12 + kπ.

Теперь, чтобы найти ускорение, нам нужно взять вторую производную от смещения x(t) по времени t:

Сначала найдем первую производную (скорость):

v(t) = dx/dt = -3 * 2 cos(2t) = -6 cos(2t)

Теперь найдем вторую производную (ускорение):

a(t) = dv/dt = -6 * (-2 sin(2t)) = 12 sin(2t)

Теперь подставим значение t, которое мы нашли ранее, чтобы найти ускорение, когда x = 1.5 м:

• Для t = π/12: sin(2t) = sin(π/6) = 0.5.
• Для t = 5π/12: sin(2t) = sin(5π/6) = 0.5.

Теперь подставим значение в уравнение для ускорения:

a(t) = 12 * 0.5 = 6 м/с².

Таким образом, ускорение тела, когда его смещение равно половине амплитуды, составляет 6 м/с².