Какое ускорение будет у тела, совершающего свободные колебания вдоль оси OX, если его координата изменяется по закону x = -2 sin 3t (м), когда смещение равно половине амплитуды?

Математика 11 класс Свободные колебания ускорение тела свободные колебания закон изменения координаты амплитуда колебаний механика математика физика движения Новый

Для того чтобы найти ускорение тела, совершающего свободные колебания, нам необходимо использовать второй закон Ньютона и уравнение движения. Давайте разберем шаги решения этой задачи.

Шаг 1: Определяем амплитуду и смещение

• Дано уравнение движения: x = -2 sin(3t), где x - координата тела, t - время.
• Амплитуда (A) колебаний равна 2 м (это максимальное значение, которое может принимать x).
• Смещение (x) равно половине амплитуды, то есть x = A/2 = 2/2 = 1 м.

Шаг 2: Находим скорость и ускорение

• Сначала найдем производную от x по времени, чтобы получить скорость (v).
• v = dx/dt = -2 * 3 cos(3t) = -6 cos(3t).
• Теперь найдем ускорение (a), которое является производной скорости по времени:
• a = dv/dt = -6 * (-3 sin(3t)) = 18 sin(3t).

Шаг 3: Находим значение ускорения при заданном смещении

• Теперь нам нужно найти значение времени t, когда x = 1 м.
• Решаем уравнение: 1 = -2 sin(3t).
• Это дает: sin(3t) = -1/2.
• Решение для sin(3t) = -1/2 дает: 3t = 7π/6 + 2kπ или 3t = 11π/6 + 2kπ, где k - любое целое число.
• Таким образом, t = (7π/18 + 2kπ/3) или t = (11π/18 + 2kπ/3).

Шаг 4: Подставляем значение t в уравнение ускорения

• Теперь подставим найденные значения t в уравнение для ускорения:
• a = 18 sin(3t).
• Для t = (7π/18), 3t = 7π/6, и sin(7π/6) = -1/2, следовательно:
• a = 18 * (-1/2) = -9 м/с².
• Для t = (11π/18), 3t = 11π/6, и sin(11π/6) = -1/2, следовательно:
• a = 18 * (-1/2) = -9 м/с².

Ответ:

Ускорение тела, когда его смещение равно половине амплитуды, составляет -9 м/с².