Какое значение имеет следующее выражение?

1. а) √3(4 - 2√2) × √3(4 - 2√2)
2. б) √(4 + √7) × √4(23 - 8√7)

Математика 11 класс Упрощение выражений с корнями значение выражения математика 11 класс квадратный корень решение задач алгебраические выражения Новый

Давайте разберем оба выражения по отдельности.

а) √3(4 - 2√2) × √3(4 - 2√2)

Это выражение можно упростить, используя свойства квадратов.

1. Сначала заметим, что это произведение одинаковых выражений, то есть можно записать его как:
2. √3(4 - 2√2) × √3(4 - 2√2) = (√3(4 - 2√2))².
3. Теперь мы можем воспользоваться формулой (a × b)² = a² × b². В нашем случае a = √3 и b = (4 - 2√2).
4. Поэтому: (√3)² × (4 - 2√2)².
5. Вычислим (√3)²: это просто 3.
6. Теперь найдем (4 - 2√2)²:
• (4 - 2√2)² = 4² - 2 × 4 × 2√2 + (2√2)² = 16 - 16√2 + 8 = 24 - 16√2.
7. Теперь подставим обратно: 3 × (24 - 16√2) = 72 - 48√2.

Таким образом, значение выражения а) равно 72 - 48√2.

б) √(4 + √7) × √4(23 - 8√7)

Для этого выражения также воспользуемся свойствами корней.

1. Сначала упростим √4(23 - 8√7): это можно записать как 2√(23 - 8√7).
2. Теперь выразим всё: √(4 + √7) × 2√(23 - 8√7) = 2√(4 + √7)√(23 - 8√7).
3. Используя свойство корней, мы можем объединить корни: 2√((4 + √7)(23 - 8√7)).
4. Теперь нужно умножить (4 + √7) и (23 - 8√7):
• (4 + √7)(23 - 8√7) = 4 × 23 + 4 × (-8√7) + √7 × 23 + √7 × (-8√7).
• Это будет: 92 - 32√7 + 23√7 - 8 × 7 = 92 - 32√7 + 23√7 - 56.
• Соберем подобные слагаемые: 36 - 9√7.
5. Теперь подставим обратно: 2√(36 - 9√7).

В итоге, значение выражения б) равно 2√(36 - 9√7).