Какое значение имеет выражение 1*(1!) + 2*(2!) + 3*(3!) + ... + n*(n!)?

Математика 11 класс Суммы с факториалом значение выражения математика 11 класс факториалы сумма факториалов математические выражения Новый

Чтобы найти значение выражения 1*(1!) + 2*(2!) + 3*(3!) + ... + n*(n!), мы можем воспользоваться некоторыми свойствами факториала и алгебраическими преобразованиями.

Давайте рассмотрим общее слагаемое k*(k!). Мы можем переписать это слагаемое следующим образом:

k*(k!) = k! * k = (k + 1 - 1) * k! = (k + 1)! - k!

Таким образом, мы можем выразить каждое слагаемое в виде разности факториалов:

k*(k!) = (k + 1)! - k!

Теперь подставим это в наше исходное выражение:

1*(1!) + 2*(2!) + 3*(3!) + ... + n*(n!) = (2! - 1!) + (3! - 2!) + (4! - 3!) + ... + ((n + 1)! - n!)

Теперь мы видим, что это выражение представляет собой телескопическую сумму. В телескопических суммах многие слагаемые сокращаются. Давайте выпишем это более подробно:

• Первое слагаемое: 2! - 1!
• Второе слагаемое: 3! - 2!
• Третье слагаемое: 4! - 3!
• ...
• Последнее слагаемое: (n + 1)! - n!

Теперь, если мы сложим все эти слагаемые, то все внутренние слагаемые (например, -2! и +2!) сократятся, и мы останемся только с первым и последним слагаемыми:

=(n + 1)! - 1!

Так как 1! = 1, то окончательно получаем:

=(n + 1)! - 1

Таким образом, значение выражения 1*(1!) + 2*(2!) + 3*(3!) + ... + n*(n!) равно (n + 1)! - 1.