Какое значение имеет выражение
(x+y)(y+z)(x+z)/(xyz)
если
(x+y)/z + (y+z)/x + (z+x)/y = 2022?
Математика 11 класс Системы уравнений и неравенств значение выражения математическая задача алгебра дроби уравнения 11 класс решение задачи математический анализ выражение с переменными Новый
Давайте начнем с того, что у нас есть уравнение:
(x+y)/z + (y+z)/x + (z+x)/y = 2022
Мы можем переписать каждую дробь в этом уравнении, чтобы упростить дальнейшие вычисления:
Таким образом, уравнение можно переписать в следующем виде:
x/z + y/z + y/x + z/x + z/y + x/y = 2022
Теперь, чтобы упростить задачу, давайте умножим обе стороны уравнения на xyz (это поможет избавиться от дробей):
xy(x+y) + xz(y+z) + yz(z+x) = 2022xyz
Теперь вернемся к выражению, которое нам нужно найти:
(x+y)(y+z)(z+x)/(xyz)
Раскроем числитель:
(x+y)(y+z)(z+x) = (x+y)(yz + zy + zx + xy)
Это выражение можно упростить, но давайте вместо этого попробуем найти его значение через известное уравнение.
Мы можем заметить, что:
(x+y)(y+z)(z+x) = xyz * (x/y + y/z + z/x + x/z + y/x + z/y)
Теперь подставим значение из нашего уравнения:
(x+y)(y+z)(z+x) = xyz * 2022
Теперь подставим это значение в наше исходное выражение:
(x+y)(y+z)(z+x)/(xyz) = (xyz * 2022) / (xyz)
После сокращения получаем:
2022
Таким образом, значение выражения (x+y)(y+z)(z+x)/(xyz) равно 2022.