Какое значение n соответствует правильной n-угольной призме, если сторона основания составляет 4 см, боковое ребро — 5 см, а площадь боковой поверхности равна 120 см?

Какова площадь сечения правильной треугольной призмы, если сторона основания составляет 8 см, боковое ребро — 6 см, и сечение проходит через одну из сторон основания и противоположную вершину другой основы?

Какое значение бокового ребра и высоты правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания составляет 5 см, а угол наклона к вершине равен 60°?

Математика 11 класс Призмы и пирамиды правильная n-угольная призма площадь боковой поверхности боковое ребро правильная треугольная призма площадь сечения правильная четырехугольная пирамида угол наклона к вершине Новый

Давайте разберем каждую из задач по порядку.

1. Найдем значение n для правильной n-угольной призмы.

Для начала, мы знаем, что площадь боковой поверхности правильной n-угольной призмы рассчитывается по формуле:

Площадь боковой поверхности = Периметр основания * Высота

Периметр основания (правильного n-угольника) можно найти по формуле:

Периметр = n * длина стороны

В нашем случае длина стороны основания составляет 4 см, а высота (боковое ребро) — 5 см. Подставим известные значения в формулу:

• Площадь боковой поверхности = n * 4 см * 5 см = 20n см²

По условию задачи, площадь боковой поверхности равна 120 см²:

• 20n = 120

Теперь решим это уравнение:

• n = 120 / 20
• n = 6

Таким образом, значение n равно 6, что соответствует правильной шестиугольной призме.

2. Найдем площадь сечения правильной треугольной призмы.

Сечение проходит через одну из сторон основания и противоположную вершину другой основы. В этом случае сечение будет треугольником, основание которого равно стороне основания призмы, а высота равна высоте призмы.

Сначала найдем высоту призмы. Площадь основания (равностороннего треугольника) можно найти по формуле:

Площадь = (√3 / 4) * a², где a — сторона основания.

Подставим a = 8 см:

• Площадь основания = (√3 / 4) * 8² = (√3 / 4) * 64 = 16√3 см²

Теперь найдем высоту призмы, используя боковое ребро (6 см) и половину стороны основания (4 см):

По теореме Пифагора:

h² + (a/2)² = (боковое ребро)²

• h² + 4² = 6²
• h² + 16 = 36
• h² = 20
• h = √20 = 2√5 см

Теперь, чтобы найти площадь сечения, нам нужно учитывать, что основание сечения равно 8 см, а высота — 2√5 см:

Площадь сечения = 1/2 * основание * высота:

• Площадь сечения = 1/2 * 8 * 2√5 = 8√5 см²

3. Найдем боковое ребро и высоту правильной четырехугольной пирамиды.

Сторона основания пирамиды составляет 5 см, а угол наклона к вершине равен 60°.

В правильной четырехугольной пирамиде высота (h) и боковое ребро (l) связаны с углом наклона:

По определению угла наклона:

tan(угол наклона) = h / (a/2)

Где a — сторона основания (5 см):

• tan(60°) = h / (5/2)
• √3 = h / 2.5

Теперь найдем высоту:

• h = 2.5√3 см

Теперь найдем боковое ребро. Используя теорему Пифагора:

l² = h² + (a/2)²

• l² = (2.5√3)² + (5/2)²
• l² = 18.75 + 6.25 = 25
• l = √25 = 5 см

Таким образом, боковое ребро равно 5 см, а высота — 2.5√3 см.