Какое значение x из интервала [0; 4] необходимо определить, чтобы функция f(x) = ∫(от 0 до √x) ln(e/(1+t²)) dt достигала максимального значения?

Математика 11 класс Оптимизация интегралов значение x функция f(x) интеграл максимальное значение интервал [0; 4] ln(e/(1+t²)) математика 11 класс Новый

Чтобы найти значение x из интервала [0; 4], при котором функция f(x) = ∫(от 0 до √x) ln(e/(1+t²)) dt достигает максимума, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции f(x):

   Используем теорему о производной интеграла. Если F(t) = ln(e/(1+t²)), то:

   f(x) = ∫(от 0 до √x) F(t) dt.

   По теореме о производной интеграла, производная f(x) будет равна:

   f'(x) = F(√x) * (d(√x)/dx) = F(√x) * (1/(2√x)).

2. Подставим F(√x):

   Теперь подставим F(√x):

   F(√x) = ln(e/(1+√x²)) = ln(e/(1+x)).

   Таким образом, f'(x) = ln(e/(1+x)) * (1/(2√x)).

3. Найдем критические точки:

   Для нахождения критических точек необходимо решить уравнение f'(x) = 0:

   • ln(e/(1+x)) = 0.

   Решая это уравнение, получаем:

   • e/(1+x) = 1;
   • 1+x = e;
   • x = e - 1.
4. Проверим, попадает ли x = e - 1 в интервал [0; 4]:

   Число e примерно равно 2.718, следовательно, e - 1 ≈ 1.718, что находится в интервале [0; 4].

5. Проверим границы интервала:

   Теперь нам нужно проверить значения функции f(x) на границах интервала:

   • f(0) = ∫(от 0 до 0) ln(e/(1+t²)) dt = 0;
   • f(4) = ∫(от 0 до 2) ln(e/(1+t²)) dt (это значение нужно вычислить, но для оценки достаточно знать, что оно положительное).
6. Сравним значения:

   Теперь сравним значение f(e - 1) с f(0) и f(4). Если f(e - 1) больше, чем оба значения, то x = e - 1 будет точкой максимума. Если f(4) больше, то максимум будет на границе.

Таким образом, значение x, при котором функция f(x) достигает максимума, это x = e - 1, если оно находится в интервале [0; 4]. В противном случае, максимум будет на границе интервала, что требует дополнительного вычисления.