Какова длина интервала, на котором функция f(x)=-1/3x^3+4x^2-15x возрастает?

Математика 11 класс Анализ функции длина интервала функция возрастает математика 11 класс f(x) Новый

Чтобы определить, на каком интервале функция f(x) = -1/3x^3 + 4x^2 - 15x возрастает, нам нужно найти производную этой функции и определить, на каких значениях x она положительна.

Шаги решения:

1. Найдём производную функции f(x):
• Производная от -1/3x^3 равна -x^2.
• Производная от 4x^2 равна 8x.
• Производная от -15x равна -15.
• Таким образом, производная функции будет: f'(x) = -x^2 + 8x - 15.
2. Решим неравенство f'(x) > 0:
• Сначала найдем корни уравнения -x^2 + 8x - 15 = 0.
• Для этого используем дискриминант: D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4*(-1)*(-15) = 64 - 60 = 4.
• Корни уравнения: x1 = (8 + sqrt(4))/(-2) = 5 и x2 = (8 - sqrt(4))/(-2) = 3.
3. Теперь мы имеем два корня: x1 = 3 и x2 = 5.
4. Разделим числовую ось на интервалы:
• (-∞, 3)
• (3, 5)
• (5, +∞)
5. Теперь проверим знак производной на каждом интервале:
• Для интервала (-∞, 3), например, подставим x = 0: f'(0) = -0^2 + 8*0 - 15 = -15 (отрицательно).
• Для интервала (3, 5), подставим x = 4: f'(4) = -4^2 + 8*4 - 15 = -16 + 32 - 15 = 1 (положительно).
• Для интервала (5, +∞), подставим x = 6: f'(6) = -6^2 + 8*6 - 15 = -36 + 48 - 15 = -3 (отрицательно).

Таким образом, функция f(x) возрастает на интервале (3, 5).

Длина этого интервала равна 5 - 3 = 2.