Какова максимальная скорость движения точки, если её перемещение описывается уравнением S(t) = -1/6t^3 + 1/2t^2 + 3?

Математика 11 класс Производные и скорость изменения максимальная скорость движение точки уравнение перемещения S(t) = -1/6t^3 + 1/2t^2 + 3 производная S(t) скорость точки математика физика движения Новый

Чтобы найти максимальную скорость движения точки, нам нужно сначала определить скорость. Скорость точки является производной перемещения по времени. В данном случае, перемещение описывается уравнением:

S(t) = -1/6t^3 + 1/2t^2 + 3

Теперь найдем производную S(t) по времени t, чтобы получить скорость v(t):

1. Производная от -1/6t^3 равна -1/2t^2.
2. Производная от 1/2t^2 равна t.
3. Производная от константы 3 равна 0.

Таким образом, скорость v(t) будет равна:

v(t) = -1/2t^2 + t

Теперь, чтобы найти максимальную скорость, нам нужно найти критические точки. Для этого мы найдем, когда производная скорости равна нулю:

Находим производную v(t):

v'(t) = -t + 1

Теперь приравняем производную к нулю:

-t + 1 = 0

Решая это уравнение, получаем:

t = 1

Теперь мы знаем, что у нас есть критическая точка в t = 1. Чтобы определить, является ли это максимумом, мы можем использовать второй производный тест или просто подставить значение t в уравнение скорости:

Теперь подставим t = 1 в v(t):

v(1) = -1/2(1)^2 + (1) = -1/2 + 1 = 1/2

Чтобы убедиться, что это максимальная скорость, мы можем проверить значения скорости в точках до и после t = 1, например, в t = 0 и t = 2:

• v(0) = -1/2(0)^2 + (0) = 0
• v(2) = -1/2(2)^2 + (2) = -2 + 2 = 0

Таким образом, мы видим, что скорость увеличивается до t = 1 и затем уменьшается. Это подтверждает, что в t = 1 у нас действительно максимальная скорость.

Итак, максимальная скорость движения точки равна 1/2 единиц в секунду.