2025-12-02 09:15:06
Какова площадь фигуры, ограниченной линией уровня для функции z = π√(x² + y² - 3/4) при z = π cos(π/3)?
- π
- 0,25π
- 4π
- 9π
- такой линии уровня не существует
Математика 11 класс Параметрические уравнения и линии уровня функций нескольких переменных площадь фигуры линия уровня функция z математика 11 класс z = π√(x² + y² - 3/4) z = π cos(π/3)
2025-12-02 09:15:26
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линией уровня для функции z = π√(x² + y² - 3/4) при z = π cos(π/3), начнем с того, что нам нужно определить, что такое линия уровня.
Линия уровня - это множество точек (x, y), для которых значение функции z постоянно. В данном случае, мы ищем точки, где:
z = π cos(π/3)
Сначала вычислим значение cos(π/3):
- cos(π/3) = 1/2
Теперь подставим это значение в уравнение:
z = π * (1/2) = π/2
Теперь у нас есть уравнение:
π√(x² + y² - 3/4) = π/2
Чтобы упростить это уравнение, разделим обе стороны на π (при условии, что π не равно нулю):
√(x² + y² - 3/4) = 1/2
Теперь возведем обе стороны в квадрат:
x² + y² - 3/4 = (1/2)²
Это дает нам:
x² + y² - 3/4 = 1/4
Теперь добавим 3/4 к обеим сторонам уравнения:
x² + y² = 1/4 + 3/4
Это упрощается до:
x² + y² = 1
Это уравнение описывает круг радиусом 1, центрированный в начале координат (0, 0).
Теперь мы можем найти площадь этой фигуры. Площадь круга вычисляется по формуле:
Площадь = π * r²
Где r - радиус круга. В нашем случае радиус r = 1:
Площадь = π * 1² = π
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линией уровня, равна:
Ответ: π