Какова площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, если её апофема наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов, а высота пирамиды составляет 6 см? Пожалуйста, помогите решить эту задачу подробно.

Математика 11 класс Площадь поверхности пирамид площадь полной поверхности правильная четырехугольная пирамида апофема угол наклона высота пирамиды решение задачи математика 11 класс геометрия формулы площади учебная задача Новый

Чтобы найти площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, нам нужно учитывать как площадь основания, так и площадь боковых граней. Начнем с того, что у нас есть правильная четырёхугольная пирамида, у которой основание представляет собой квадрат.

Шаг 1: Найдем сторону основания.

Мы знаем, что высота пирамиды равна 6 см, а апофема (наклонная высота боковой грани) наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов. Это означает, что мы можем использовать свойства треугольника, образованного высотой, апофемой и половиной стороны основания.

• Обозначим сторону основания квадрата как "a".
• Половина стороны основания будет равна a/2.
• В треугольнике, образованном высотой, половиной стороны и апофемой, можно использовать тригонометрические соотношения.

Так как угол наклона равен 45 градусам, то мы можем записать следующее соотношение:

tg(45°) = высота / (a/2)

tg(45°) = 1, следовательно:

1 = 6 / (a/2)

Отсюда получаем:

a/2 = 6

a = 12 см.

Шаг 2: Найдем площадь основания.

Площадь основания квадрата (S_основание) вычисляется по формуле:

S_основание = a^2 = 12^2 = 144 см².

Шаг 3: Найдем площадь боковых граней.

Боковые грани пирамиды являются равнобедренными треугольниками. Площадь одного бокового треугольника (S_боковой) можно найти по формуле:

S_боковой = (1/2) * основание * высота,

где основание - это сторона основания (a), а высота - это апофема (которая равна 6 см / cos(45°) = 6√2 см).

Тогда площадь одного бокового треугольника:

S_боковой = (1/2) * 12 * 6√2 = 36√2 см².

Так как у нас 4 боковые грани, общая площадь боковых граней (S_боковые) будет:

S_боковые = 4 * S_боковой = 4 * 36√2 = 144√2 см².

Шаг 4: Найдем площадь полной поверхности.

Теперь мы можем найти площадь полной поверхности (S_полная) пирамиды:

S_полная = S_основание + S_боковые = 144 + 144√2 см².

Ответ: Площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды составляет 144 + 144√2 см².