Какова предельная величина выражения (3x^7+2x^5+3)*(9-3x) / (5x^4+3x^2-x)^2 при x, стремящемся к бесконечности?

Математика 11 класс Предельные величины и асимптотическое поведение функций предельная величина выражение математика 11 предел при бесконечности алгебра дробные функции Новый

Чтобы найти предельную величину выражения (3x^7 + 2x^5 + 3) * (9 - 3x) / (5x^4 + 3x^2 - x)^2 при x, стремящемся к бесконечности, давайте разберем это выражение по частям.

1. **Анализ числителя**: Числитель состоит из двух множителей:

• 3x^7 + 2x^5 + 3 — это многочлен, где наибольший член 3x^7 будет доминировать при x, стремящемся к бесконечности.
• 9 - 3x — при x, стремящемся к бесконечности, этот множитель будет стремиться к -3x.

Таким образом, числитель можно упростить:

(3x^7 + 2x^5 + 3) (9 - 3x) ≈ 3x^7 (-3x) = -9x^8 при x, стремящемся к бесконечности.

2. **Анализ знаменателя**: Знаменатель представлен как (5x^4 + 3x^2 - x)^2. Рассмотрим многочлен 5x^4 + 3x^2 - x:

• Наибольший член здесь — 5x^4, который будет доминировать при x, стремящемся к бесконечности.

Следовательно, знаменатель можно упростить:

(5x^4 + 3x^2 - x)^2 ≈ (5x^4)^2 = 25x^8 при x, стремящемся к бесконечности.

3. **Соберем всё вместе**: Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение:

(-9x^8) / (25x^8) = -9/25.

4. **Ответ**: Таким образом, предельная величина выражения при x, стремящемся к бесконечности равна -9/25.