Какова производная функции y=arcsin(корень x)?

Математика 11 класс Производная обратной тригонометрической функции производная функция y=arcsin(корень x) математика 11 класс арксинус корень дифференцирование математический анализ учебный материал Новый

Для нахождения производной функции y = arcsin(корень x) мы будем использовать правило цепочки. Давайте разберем этот процесс шаг за шагом.

Шаг 1: Определим внутреннюю и внешнюю функции.

В нашем случае у нас есть:

• Внешняя функция: y = arcsin(u), где u = корень x = x^(1/2).
• Внутренняя функция: u = корень x = x^(1/2).

Шаг 2: Найдем производную внешней функции.

Производная функции y = arcsin(u) равна:

dy/du = 1 / √(1 - u²).

Шаг 3: Найдем производную внутренней функции.

Теперь найдем производную u = корень x:

du/dx = 1 / (2√x).

Шаг 4: Применим правило цепочки.

Теперь, используя правило цепочки, мы можем найти производную y по x:

dy/dx = dy/du * du/dx.

Подставим наши значения:

dy/dx = (1 / √(1 - u²)) * (1 / (2√x)).

Шаг 5: Подставим выражение для u.

Теперь заменим u обратно на корень x:

dy/dx = (1 / √(1 - (корень x)²)) * (1 / (2√x)).

Это упростится до:

dy/dx = (1 / √(1 - x)) * (1 / (2√x)).

Заключение:

Таким образом, производная функции y = arcsin(корень x) равна:

dy/dx = 1 / (2√x * √(1 - x)).