Какова производная функции z=f(x, y) в точке M1 по направлению вектора от M1 к M2, и каково значение градиента функции z=f(x, y) в точке M2, если z = x^4 - axy + y, M1(a; 2), M2(1; 0), a=9?

Математика 11 класс Частные производные и градиенты функций нескольких переменных производная функции градиент функции точка M1 точка M2 вектор направления значение градиента z=f(x y) математика задачи по математике Новый

Чтобы найти производную функции z = f(x, y) в точке M1 по направлению вектора от M1 к M2, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Определение вектора направления

Точки M1 и M2 имеют координаты M1(9; 2) и M2(1; 0). Сначала найдем вектор направления от M1 к M2:

• Вектор направления = M2 - M1 = (1 - 9; 0 - 2) = (-8; -2).

Шаг 2: Нормализация вектора направления

Чтобы использовать этот вектор для нахождения производной, его нужно нормализовать. Для этого найдем его длину:

• Длина вектора = √((-8)^2 + (-2)^2) = √(64 + 4) = √68 = 2√17.

Теперь нормализуем вектор:

• Нормализованный вектор = (-8 / (2√17); -2 / (2√17)) = (-4 / √17; -1 / √17).

Шаг 3: Вычисление градиента функции z

Градиент функции z = f(x, y) равен вектору, состоящему из частных производных функции по x и y:

• ∂f/∂x = 4x^3 - ay,
• ∂f/∂y = -ax + 1.

Шаг 4: Подставляем координаты точки M1

Теперь подставим координаты точки M1(9; 2) в выражения для частных производных:

• ∂f/∂x в M1 = 4(9)^3 - 9(2) = 4(729) - 18 = 2916 - 18 = 2898.
• ∂f/∂y в M1 = -9(9) + 1 = -81 + 1 = -80.

Таким образом, градиент в точке M1 равен:

• ∇f(M1) = (2898; -80).

Шаг 5: Находим производную функции по направлению

Теперь мы можем найти производную функции z в точке M1 по направлению вектора, нормализованного ранее:

• df/dt = ∇f(M1) • (нормализованный вектор) = (2898; -80) • (-4 / √17; -1 / √17).

Считаем скалярное произведение:

• df/dt = 2898 * (-4 / √17) + (-80) * (-1 / √17) = -11592 / √17 + 80 / √17 = (-11592 + 80) / √17 = -11512 / √17.

Шаг 6: Значение градиента в точке M2

Теперь найдем значение градиента в точке M2(1; 0):

• ∂f/∂x в M2 = 4(1)^3 - 9(0) = 4 - 0 = 4.
• ∂f/∂y в M2 = -9(1) + 1 = -9 + 1 = -8.

Таким образом, градиент в точке M2 равен:

• ∇f(M2) = (4; -8).

В итоге, мы нашли:

• Производная функции z в точке M1 по направлению вектора от M1 к M2: -11512 / √17.
• Градиент функции z в точке M2: (4; -8).