Какова собственная скорость катера, если он прошел 50 км по течению реки и 25 км против течения, затратив на весь путь 5 часов, при условии, что скорость реки составляет 5 км в час?

Математика 11 класс Системы уравнений собственная скорость катера скорость катера скорость реки движение по течению движение против течения задача по математике 11 класс Новый

Для решения задачи начнем с обозначения собственных скоростей катера и реки:

• v - собственная скорость катера (км/ч).
• v_р - скорость реки = 5 км/ч.

Теперь определим скорости катера по течению и против течения:

• Скорость катера по течению: v + v_р = v + 5 (км/ч).
• Скорость катера против течения: v - v_р = v - 5 (км/ч).

Теперь найдем время, затраченное на каждую часть пути:

• Время, затраченное на путь по течению (50 км):
• t_по = 50 / (v + 5).
• Время, затраченное на путь против течения (25 км):
• t_против = 25 / (v - 5).

Согласно условию задачи, общее время в пути составляет 5 часов:

t_по + t_против = 5

Подставим выражения для времени в уравнение:

50 / (v + 5) + 25 / (v - 5) = 5

Теперь решим это уравнение. Умножим обе стороны на (v + 5)(v - 5) для устранения дробей:

50(v - 5) + 25(v + 5) = 5(v + 5)(v - 5)

Раскроем скобки:

• 50v - 250 + 25v + 125 = 5(v^2 - 25)
• 75v - 125 = 5v^2 - 125

Теперь перенесем все члены в одну сторону:

5v^2 - 75v = 0

Вынесем v как общий множитель:

v(5v - 75) = 0

Это уравнение имеет два решения:

• v = 0 (не подходит, так как мы ищем скорость катера).
• 5v - 75 = 0 или v = 15 км/ч.

Таким образом, собственная скорость катера составляет 15 км/ч.