Какова сумма ряда:

• 1/(1+√2) + 1/(√2+√3) + ... + 1/(√1997 + √1998)?

Математика 11 класс Суммы рядов и последовательностей Сумма ряда математика 11 класс последовательности и ряды вычисление суммы дроби с корнями Новый

Чтобы найти сумму данного ряда, давайте сначала рассмотрим общий член ряда. Мы можем записать его в виде:

a_n = 1/(√n + √(n+1))

Теперь мы упростим этот член. Умножим числитель и знаменатель на (√n - √(n+1)):

a_n = (√n - √(n+1)) / ((√n + √(n+1))(√n - √(n+1)))

В знаменателе мы получаем разность квадратов:

(√n + √(n+1))(√n - √(n+1)) = n - (n + 1) = -1

Таким образом, мы можем записать:

a_n = (√n - √(n+1)) / -1 = √(n+1) - √n

Теперь подставим это в сумму ряда:

Сумма = a_1 + a_2 + ... + a_1997

Заменяем каждый член на выражение, которое мы получили:

Сумма = (√2 - √1) + (√3 - √2) + (√4 - √3) + ... + (√1998 - √1997)

Обратите внимание, что это телескопическая сумма. В этом случае все промежуточные члены сокращаются:

Сумма = √1998 - √1

Теперь подставим значения:

Сумма = √1998 - 1

Таким образом, окончательный ответ:

Сумма ряда = √1998 - 1