2025-01-02 11:10:10
Какова сумма ряда:
- 1/(1+√2) + 1/(√2+√3) + ... + 1/(√1997 + √1998)?
Математика 11 класс Суммы рядов и последовательностей Сумма ряда математика 11 класс последовательности и ряды вычисление суммы дроби с корнями
2025-01-02 11:10:24
Чтобы найти сумму данного ряда, давайте сначала рассмотрим общий член ряда. Мы можем записать его в виде:
a_n = 1/(√n + √(n+1))
Теперь мы упростим этот член. Умножим числитель и знаменатель на (√n - √(n+1)):
a_n = (√n - √(n+1)) / ((√n + √(n+1))(√n - √(n+1)))
В знаменателе мы получаем разность квадратов:
(√n + √(n+1))(√n - √(n+1)) = n - (n + 1) = -1
Таким образом, мы можем записать:
a_n = (√n - √(n+1)) / -1 = √(n+1) - √n
Теперь подставим это в сумму ряда:
Сумма = a_1 + a_2 + ... + a_1997
Заменяем каждый член на выражение, которое мы получили:
Сумма = (√2 - √1) + (√3 - √2) + (√4 - √3) + ... + (√1998 - √1997)
Обратите внимание, что это телескопическая сумма. В этом случае все промежуточные члены сокращаются:
Сумма = √1998 - √1
Теперь подставим значения:
Сумма = √1998 - 1
Таким образом, окончательный ответ:
Сумма ряда = √1998 - 1
