2025-08-26 15:21:21
Какова сумма выражения (1^2)-(2^2)+(3^2)-(4^2)+...+101^2?
Математика 11 класс Суммы и разности квадратов сумма выражения математика 11 класс квадратные числа последовательность арифметическая прогрессия решение задачи Новый
2025-08-26 15:21:32
Чтобы найти сумму выражения (1^2)-(2^2)+(3^2)-(4^2)+...+101^2, давайте сначала разберем его структуру.
Мы видим, что сумма состоит из квадратов чисел от 1 до 101, где каждый второй квадрат вычитается. Это означает, что мы можем сгруппировать слагаемые попарно:
- (1^2 - 2^2),
- (3^2 - 4^2),
- (5^2 - 6^2),
- ... и так далее до (99^2 - 100^2),
- а затем добавим 101^2.
Сначала давайте упростим каждую пару (n^2 - (n+1)^2), где n - нечетное число:
n^2 - (n+1)^2 = n^2 - (n^2 + 2n + 1) = -2n - 1.
Теперь мы заметим, что n принимает значения 1, 3, 5, ..., 99. Это нечетные числа от 1 до 99. Давайте найдем количество таких чисел:
Количество нечетных чисел от 1 до 99 можно найти по формуле:
Количество = (99 - 1)/2 + 1 = 50.
Теперь мы можем выразить сумму:
Сумма = -2 * (1 + 3 + 5 + ... + 99) + 101^2.
Сумма нечетных чисел от 1 до 99 равна:
Сумма = (количество чисел)² = 50² = 2500.
Теперь подставим это значение в нашу формулу:
Сумма = -2 * 2500 + 101^2.
Теперь найдем 101^2:
101^2 = 10201.
Теперь подставим это значение:
Сумма = -5000 + 10201 = 5201.
Таким образом, итоговая сумма выражения (1^2)-(2^2)+(3^2)-(4^2)+...+101^2 равна 5201.
