Какова величина выражения: √(8 - 2√7) - √7 - 2?

Математика 11 класс Упрощение и вычисление выражений с корнями величина выражения математика 11 класс квадратный корень алгебра решение уравнений Новый

Чтобы найти величину выражения √(8 - 2√7) - √7 - 2, давайте поработаем с каждым компонентом по отдельности.

Сначала упростим корень √(8 - 2√7). Для этого попробуем представить число 8 - 2√7 в виде (a - b)², где a и b - некоторые числа.

Раскроем квадрат:

• (a - b)² = a² - 2ab + b²

Теперь сравним это с 8 - 2√7:

• a² + b² = 8
• -2ab = -2√7

Из второго уравнения получаем:

• ab = √7

Теперь у нас есть система уравнений:

1. a² + b² = 8
2. ab = √7

Из второго уравнения выразим b через a:

• b = √7/a

Подставим это в первое уравнение:

• a² + (√7/a)² = 8

Упростим:

• a² + 7/a² = 8

Умножим всё на a², чтобы избавиться от дроби:

• a^4 - 8a² + 7 = 0

Обозначим x = a². Тогда у нас получается квадратное уравнение:

• x² - 8x + 7 = 0

Решим его с помощью дискриминанта:

• D = (-8)² - 4*1*7 = 64 - 28 = 36

Теперь найдем корни:

• x₁ = (8 + √36)/2 = (8 + 6)/2 = 7
• x₂ = (8 - √36)/2 = (8 - 6)/2 = 1

Так как x = a², то:

• a² = 7, a = √7
• a² = 1, a = 1

Теперь найдем соответствующие b:

• Если a = √7, то b = √7/a = 1
• Если a = 1, то b = √7/a = √7

Таким образом, мы можем записать:

• √(8 - 2√7) = √(√7 - 1)² = √7 - 1

Теперь подставим это значение обратно в исходное выражение:

• √(8 - 2√7) - √7 - 2 = (√7 - 1) - √7 - 2

Упрощаем:

• √7 - 1 - √7 - 2 = -1 - 2 = -3

Таким образом, величина выражения равна:

-3