Какова вероятность того, что кузнечик, прыгая по бесконечному склону, в какой-то момент времени окажется в точке с координатой  − 1 −1, если с вероятностью  p = 17 25 p= 25 17 он прыгает вверх, а с вероятностью  1 − p 1−p движется вниз? Ответ округли до сотых.

Математика 11 класс Вероятностные процессы вероятность кузнечик бесконечный склон математика 11 класс координаты прыжки вероятность события округление до сотых Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать концепцию случайных блужданий. Кузнечик может прыгать вверх и вниз с определенными вероятностями, и нам нужно определить вероятность того, что он когда-либо достигнет точки с координатой -1.

Обозначим вероятность того, что кузнечик достигнет точки -1, как P(-1). У нас есть две вероятности:

• Вероятность p = 17/25, что кузнечик прыгает вверх.
• Вероятность 1 - p = 1 - 17/25 = 8/25, что кузнечик прыгает вниз.

Сначала определим, какова общая вероятность достижения точки -1. Если кузнечик прыгает вверх, он перемещается на +1, а если вниз, то на -1. Мы можем записать уравнение для P(-1) следующим образом:

P(-1) = p * P(0) + (1 - p) * P(-2)

Где:

• P(0) - вероятность достижения точки 0 (начальной точки).
• P(-2) - вероятность достижения точки -2.

Так как кузнечик может бесконечно прыгать вверх и вниз, вероятность P(0) будет равна 1, так как он начнет с этой точки и может вернуться к ней. Теперь подставим значения:

P(-1) = (17/25) * 1 + (8/25) * P(-2)

Теперь мы можем выразить P(-2) аналогично:

P(-2) = p * P(-1) + (1 - p) * P(-3)

И так далее, мы можем заметить, что это будет бесконечная последовательность. Однако важно понимать, что если p > 1/2 (в нашем случае p = 17/25), то кузнечик имеет больше шансов двигаться вверх, чем вниз.

Согласно теории случайных блужданий, если вероятность движения вверх больше 1/2, то вероятность того, что кузнечик достигнет любой точки ниже начальной (например, -1, -2 и т.д.) равна 0.

Таким образом, в нашем случае:

Вероятность того, что кузнечик достигнет точки -1, равна 0.