Какова вероятность того, что Миша действительно болеет гриппом, если тест на грипп оказался положительным, учитывая, что тест подтверждает наличие гриппа в 97% случаев при наличии болезни и выявляет отсутствие гриппа в 83% случаев при отсутствии болезни, а также что в среднем тест положителен у 25% пациентов?

Математика 11 класс Байесовская теорема вероятность гриппа тест на грипп положительный тест 11 класс математика условная вероятность статистика задачи по вероятности Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать теорему Байеса. Нам нужно найти вероятность того, что Миша действительно болеет гриппом (обозначим это событие как A), при условии, что тест на грипп оказался положительным (обозначим это событие как B). То есть, нам нужно найти P(A|B).

Согласно теореме Байеса, формула выглядит следующим образом:

P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)

Где:

• P(B|A) — вероятность положительного теста, если болезнь есть (это 97% или 0.97).
• P(A) — общая вероятность того, что у пациента есть грипп. Если тест положителен у 25% пациентов, то P(A) = 0.25.
• P(B) — общая вероятность положительного теста. Это можно найти с помощью формулы полной вероятности:

P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|¬A) * P(¬A)

Где:

• P(B|¬A) — вероятность положительного теста, если болезни нет. Это 1 - вероятность негативного теста при отсутствии болезни, что составляет 1 - 0.83 = 0.17.
• P(¬A) — вероятность того, что у пациента нет гриппа. Это 1 - P(A) = 1 - 0.25 = 0.75.

Теперь мы можем подставить значения:

1. Сначала вычислим P(B):
• P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|¬A) * P(¬A) = 0.97 * 0.25 + 0.17 * 0.75.
• P(B) = 0.2425 + 0.1275 = 0.37.
2. Теперь подставим все значения в формулу Байеса:
• P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B) = (0.97 * 0.25) / 0.37.
• P(A|B) = 0.2425 / 0.37 ≈ 0.6554.

Таким образом, вероятность того, что Миша действительно болеет гриппом, если тест оказался положительным, составляет примерно 65.54%.