Какова вероятность того, что шар был взят из второго ящика, если известно, что вынутый шар черный? В первом ящике 6 белых и 4 черных шара, а во втором 3 белых и 7 черных. Извлечение шара из любого ящика происходит с равной вероятностью.

Математика 11 класс Условная вероятность вероятность шар ящик чёрный шар белый шар математическая задача условная вероятность комбинаторика статистика решение задач Новый

Для решения задачи воспользуемся формулой Байеса, которая позволяет находить условные вероятности. Нам нужно найти вероятность того, что шар был взят из второго ящика, при условии, что вынутый шар черный. Обозначим события:

• A - событие, что шар был взят из второго ящика.
• B - событие, что вынутый шар черный.

Нам нужно найти P(A | B), то есть вероятность события A при условии события B. По формуле Байеса это выражается как:

P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B).

Теперь найдем каждую из этих вероятностей по отдельности:

1. P(A): Вероятность того, что шар был взят из второго ящика. Поскольку извлечение шара из любого ящика происходит с равной вероятностью, то:
• P(A) = 1/2.
2. P(B | A): Вероятность того, что шар черный, если он был взят из второго ящика. Во втором ящике 7 черных и 3 белых шара, всего 10 шаров. Таким образом:
• P(B | A) = 7/10.
3. P(B): Общая вероятность того, что вынутый шар черный. Для этого нужно учитывать оба ящика:
• Вероятность взять черный шар из первого ящика: 4 черных из 10 шаров, т.е. P(B | первый ящик) = 4/10.
• Вероятность взять черный шар из второго ящика: 7 черных из 10 шаров, т.е. P(B | второй ящик) = 7/10.
• С учетом равной вероятности извлечения из ящиков, общая вероятность P(B) будет:
• P(B) = (1/2 * 4/10) + (1/2 * 7/10) = 2/10 + 3.5/10 = 5.5/10 = 11/20.

Теперь подставим все значения в формулу Байеса:

P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B) = (7/10 * 1/2) / (11/20).

Упрощаем:

P(A | B) = (7/20) / (11/20) = 7/11.

Таким образом, вероятность того, что шар был взят из второго ящика, если известно, что вынутый шар черный, равна 7/11.