Какова вероятность того, что случайно выбранная бракованная лампочка была произведена на первом заводе, если известно, что 20% лампочек изготовлены на первом заводе, 30% - на втором, а 50% - на третьем, и вероятность брака на этих заводах составляет 0,1, 0,005 и 0,006 соответственно?

Математика 11 класс Условная вероятность и теорема Байеса вероятность бракованной лампочки заводы лампочек математика 11 класс условная вероятность задача по вероятности Новый

Чтобы решить эту задачу, мы воспользуемся формулой Байеса для нахождения условной вероятности. Нам нужно найти вероятность того, что бракованная лампочка была произведена на первом заводе, учитывая данные о доле лампочек и вероятностях брака.

Обозначим события:

• A1 - лампочка произведена на первом заводе;
• A2 - лампочка произведена на втором заводе;
• A3 - лампочка произведена на третьем заводе;
• B - лампочка бракованная.

Даны следующие данные:

• P(A1) = 0,2 (доля лампочек с первого завода);
• P(A2) = 0,3 (доля лампочек со второго завода);
• P(A3) = 0,5 (доля лампочек с третьего завода);
• P(B|A1) = 0,1 (вероятность брака на первом заводе);
• P(B|A2) = 0,005 (вероятность брака на втором заводе);
• P(B|A3) = 0,006 (вероятность брака на третьем заводе).

Теперь нам нужно найти полную вероятность события B (бракованная лампочка). Для этого используем формулу полной вероятности:

P(B) = P(B|A1) * P(A1) + P(B|A2) * P(A2) + P(B|A3) * P(A3).

Подставим значения:

1. P(B|A1) * P(A1) = 0,1 * 0,2 = 0,02;
2. P(B|A2) * P(A2) = 0,005 * 0,3 = 0,0015;
3. P(B|A3) * P(A3) = 0,006 * 0,5 = 0,003.

Теперь сложим эти значения:

P(B) = 0,02 + 0,0015 + 0,003 = 0,0245.

Теперь, когда мы знаем P(B), можем найти условную вероятность P(A1|B) с использованием формулы Байеса:

P(A1|B) = P(B|A1) * P(A1) / P(B).

Подставим известные значения:

P(A1|B) = (0,1 * 0,2) / 0,0245 = 0,02 / 0,0245.

Теперь вычислим это значение:

P(A1|B) = 0,8163 (примерно).

Ответ: Вероятность того, что случайно выбранная бракованная лампочка была произведена на первом заводе, составляет примерно 0,8163 или 81,63%.